Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral cos ^2(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve uma função trigonométrica. A questão é calcular integral cos^2(3x) , dx. Para isso, vamos usar a matéria de integração de funções trigonométricas, especificamente a fórmula de redução de potência para o cosseno. Isso vai nos ajudar a simplificar a integral e encontrar a solução passo a passo.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar da fórmula de redução de potência para o cosseno, que é muito útil quando temos potências pares de funções trigonométricas. A fórmula é:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Nesse caso, nossa theta é 3x. Então, aplicando a fórmula, temos:
cos^2(3x) = 1 + cos(6x)2

Passo 3

Agora, substituímos a expressão da cos^2(3x) na integral original:
integral cos^2(3x) , dx = integral 1 + cos(6x)2 , dx
Podemos separar a integral em duas partes:
integral 12 , dx + integral cos(6x)2 , dx

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiro, a integral de 12 , dx:
integral 12 , dx = 12x
Agora, a integral de cos(6x)2 , dx. Para isso, lembramos que a integral de cos(kx) , dx é sin(kx)k, onde k é uma constante. Aplicando isso:
integral cos(6x)2 , dx = 12 cdot sin(6x)6 = sin(6x)12

Passo 5

Finalmente, juntamos as duas partes que integramos:
12x + sin(6x)12 + C
Onde C é a constante de integração, que representamos normalmente ao final.

Resposta

A integral de cos^2(3x) é:
x2 + sin(6x)12 + C

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