Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando integração por partes. Aqui, a gente vai precisar conhecer a fórmula de integração por partes e lembrar como manipular funções trigonométricas, especialmente a tangente ao quadrado. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes, que é:
A ideia é escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples ao derivar e
como o resto. No nosso caso, podemos deixar:
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
Para encontrar
, precisamos integrar
:
Lembrando que
, podemos simplificar a integral:
Aqui, usamos o fato de que
e
.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Agora, precisamos resolver as integrais restantes:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 6
Vamos simplificar os termos com
:
Então, nossa expressão fica:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.