Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
integral x cdot tg^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Aqui, a gente vai precisar conhecer a fórmula de integração por partes e lembrar como manipular funções trigonométricas, especialmente a tangente ao quadrado. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
A ideia é escolher quais partes da nossa integral serão u = x e dv = tan^2 x , dx e . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples ao derivar e como o resto. No nosso caso, podemos deixar:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = dx e integrar v = integral tan^2 x , dx :
v = integral (sec^2 x - 1) , dx = tan x - x + C
Para encontrar , precisamos integrar :
Lembrando que , podemos simplificar a integral:
Aqui, usamos o fato de que e .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x cdot tan^2 x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo = x(tan x - x) - integral (tan x - x) , dx , = x tan x - x^2 - integral tan x , dx + integral x , dx e :
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Agora, precisamos resolver as integrais restantes:
  1. = x tan x - x^2 - ( -ln|cos x| ) + x^22 + C
  2. = x tan x - x^2 + ln|cos x| + x^22 + C
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 6

Vamos simplificar os termos com - x^2 + x^22 = -x^22 :
= x tan x - x^22 + ln|cos x| + C
Então, nossa expressão fica:

Resposta

A integral x tan x - x^22 + ln|cos x| + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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