Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo, especificamente envolvendo integração por substituição trigonométrica e completando o quadrado quando necessário. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral tem a forma . Para facilitar a substituição trigonométrica, vamos fazer uma substituição que se adapte à expressão . Sabemos que para , uma boa substituição é . Aqui, , então vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular em termos de . Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Simplificando os termos dentro da raiz e no denominador:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica :
Substituindo de volta na integral:
Simplificando os termos:

Passo 6

Sabemos que a integral de é . Então:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar . No triângulo:
  • O cateto oposto a é
  • A hipotenusa é 3
  • O cateto adjacente é
Então:

Resposta

Portanto, a integral é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.