Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de cálculo, especificamente envolvendo integração por substituição trigonométrica e completando o quadrado quando necessário. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral tem a forma
. Para facilitar a substituição trigonométrica, vamos fazer uma substituição que se adapte à expressão
. Sabemos que para
, uma boa substituição é
. Aqui,
, então vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
em termos de
. Derivando
em relação a
, temos:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando os termos dentro da raiz e no denominador:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica
:
Substituindo de volta na integral:
Simplificando os termos:
Passo 6
Sabemos que a integral de
é
. Então:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar
. No triângulo:
- O cateto oposto a
é - A hipotenusa é 3
- O cateto adjacente é
Então:
Resposta
Portanto, a integral é:
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Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.