Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
integral d xx^2 raiz9-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo, especificamente envolvendo integração por substituição trigonométrica e completando o quadrado quando necessário. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral tem a forma x = 3 sin theta . Para facilitar a substituição trigonométrica, vamos fazer uma substituição que se adapte à expressão . Sabemos que para , uma boa substituição é . Aqui, , então vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular dx = 3 cos theta , dtheta em termos de . Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Vamos substituir integral dxx^2 raiz9 - x^2 = integral 3 cos theta , dtheta(3 sin theta)^2 raiz9 - (3 sin theta)^2 e = integral 3 cos theta , dtheta9 sin^2 theta raiz9 - 9 sin^2 theta = integral 3 cos theta , dtheta9 sin^2 theta raiz9(1 - sin^2 theta) na integral original:
Simplificando os termos dentro da raiz e no denominador:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica raiz9 cos^2 theta = 3 cos theta :
= integral 3 cos theta , dtheta9 sin^2 theta cdot 3 cos theta = integral 3 cos theta , dtheta27 sin^2 theta cos theta
Substituindo de volta na integral:
= integral 19 sin^2 theta , dtheta = 19 integral csc^2 theta , dtheta
Simplificando os termos:

Passo 6

Sabemos que a integral de 19 integral csc^2 theta , dtheta = 19 (-cot theta) + C = -19 cot theta + C é . Então:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original cot theta = cateto adjacentecateto oposto = raiz9 - x^2x . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar . No triângulo:
  • O cateto oposto a é
  • A hipotenusa é 3
  • O cateto adjacente é
Então:

Resposta

Portanto, a integral é:
-19 cdot raiz9 - x^2x + C

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