Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral sen(3 theta) cdot cos (2 theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de sin(3theta) cdot cos(2theta) dtheta. Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente no tópico de integrais trigonométricas. Para resolver, vamos usar algumas identidades trigonométricas que facilitam a integração de produtos de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma:
sin A cdot cos B = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
Isso ajuda a simplificar a integral, transformando o produto em uma soma de senos, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade com A = 3theta e B = 2theta, temos:
sin(3theta) cdot cos(2theta) = 12 [sin(3theta + 2theta) + sin(3theta - 2theta)] = 12 [sin(5theta) + sin(theta)]
Agora, nossa integral fica:
integral sin(3theta) cdot cos(2theta) dtheta = 12 integral [sin(5theta) + sin(theta)] dtheta

Passo 4

Vamos integrar termo por termo:
12 integral sin(5theta) dtheta + 12 integral sin(theta) dtheta
A integral de sin(ktheta) em relação a theta é -1k cos(ktheta) + C, onde C é a constante de integração.
Aplicando isso:
12 ( -15 cos(5theta) ) + 12 ( -cos(theta) ) + C

Resposta

Então, a integral é igual a:
-110 cos(5theta) - 12 cos(theta) + C

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