Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
integral d x1+2 x^2+x^4

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Para isso, vamos utilizar substituição trigonométrica e, se necessário, completar o quadrado no denominador. Precisaremos entender como simplificar o denominador e aplicar a substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador 1 + 2x^2 + x^4 = x^4 + 2x^2 + 1 . Observamos que:
x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2
Isso pode ser reescrito como:
integral dx(x^2 + 1)^2
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a substituição trigonométrica. Sabemos que para integrais envolvendo x = tan(theta) , uma boa substituição é:
dx = sec^2(theta) dtheta
Dessa forma, temos:
E .

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral dx(x^2 + 1)^2 = integral sec^2(theta) dthetasec^4(theta) = integral cos^2(theta) dtheta
Agora, precisamos integrar cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
integral 1 + cos(2theta)2 dtheta = 12 integral dtheta + 12 integral cos(2theta) dtheta
Então, a integral torna-se:
12 theta + 14 sin(2theta) + C
Integrando termo a termo:

Passo 5

Agora, voltamos para a variável original theta = arctan(x) . Sabemos que sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta) = 2xx^2 + 1 , então:
12 arctan(x) + 14 ( 2xx^2 + 1 ) + C = 12 arctan(x) + x2(x^2 + 1) + C
E,
Substituindo de volta:

Resposta

A integral 12 arctan(x) + x2(x^2 + 1) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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