Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Para isso, vamos utilizar substituição trigonométrica e, se necessário, completar o quadrado no denominador. Precisaremos entender como simplificar o denominador e aplicar a substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Observamos que:
Isso pode ser reescrito como:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a substituição trigonométrica. Sabemos que para integrais envolvendo , uma boa substituição é:
Dessa forma, temos:
E .

Passo 4

Substituindo na integral original:
Agora, precisamos integrar . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral torna-se:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Agora, voltamos para a variável original . Sabemos que , então:
E,
Substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
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Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
Calcule as seguintes integrais trigonométricas: