Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
. Para isso, vamos utilizar substituição trigonométrica e, se necessário, completar o quadrado no denominador. Precisaremos entender como simplificar o denominador e aplicar a substituição adequada para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Observamos que:
Isso pode ser reescrito como:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a substituição trigonométrica. Sabemos que para integrais envolvendo
, uma boa substituição é:
Dessa forma, temos:
E
.
Passo 4
Substituindo na integral original:
Agora, precisamos integrar
. Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral torna-se:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, voltamos para a variável original
. Sabemos que
, então:
E,
Substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
Calcule as seguintes integrais trigonométricas: