Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral indefinida . Isso está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando substituição trigonométrica e, se precisar, completar o quadrado. Vamos precisar de trigonometria básica e regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão. Observando o denominador , uma substituição comum é . Isso porque , o que simplifica bastante a integral.

Passo 3

Com , derivando ambos os lados, temos . Vamos substituir e na integral:

Passo 4

Simplificando o denominador usando a identidade trigonométrica :
Então, a integral fica:

Passo 5

Sabemos que a integral de é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo tem seno igual a . Assim:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
Calcule as seguintes integrais trigonométricas: