Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral indefinida
. Isso está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando substituição trigonométrica e, se precisar, completar o quadrado. Vamos precisar de trigonometria básica e regras de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão. Observando o denominador
, uma substituição comum é
. Isso porque
, o que simplifica bastante a integral.
Passo 3
Com
, derivando ambos os lados, temos
. Vamos substituir
e
na integral:
Passo 4
Simplificando o denominador usando a identidade trigonométrica
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Sabemos que a integral de
é
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo
tem seno igual a
. Assim:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
Calcule as seguintes integrais trigonométricas: