Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
integral d x(1-x^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral indefinida . Isso está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando substituição trigonométrica e, se precisar, completar o quadrado. Vamos precisar de trigonometria básica e regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão. Observando o denominador , uma substituição comum é . Isso porque , o que simplifica bastante a integral.

Passo 3

Com integral dx(1 - x^2)^3/2 = integral cos theta , dtheta(1 - sin^2 theta)^3/2 , derivando ambos os lados, temos . Vamos substituir e na integral:

Passo 4

Simplificando o denominador usando a identidade trigonométrica (1 - sin^2 theta)^3/2 = (cos^2 theta)^3/2 = cos^3 theta :
integral cos theta , dthetacos^3 theta = integral 1cos^2 theta , dtheta = integral sec^2 theta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 5

Sabemos que a integral de integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original tan theta = sin thetacos theta = xraiz1 - x^2 . Lembrando que tan theta = xraiz1 - x^2 , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo tem seno igual a . Assim:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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