Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
integral x cdot arctg x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral u , dv = u cdot v - integral v , du usando integração por partes. Esse método é super útil quando temos um produto de duas funções, como aqui. Pra começar, precisamos lembrar a fórmula básica da integração por partes:
Então, vamos identificar qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 2

Primeiro, escolhemos u = arctan(x) como a parte que vai simplificar quando derivarmos. Aqui, vamos deixar:
dv = x , dx
Isso significa que o que sobra será :
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos derivar u = arctan(x) implies du = 11 + x^2 , dx para achar dv = x , dx implies v = x^22 :
E agora, vamos integrar para achar :

Passo 4

Com integral u , dv = u cdot v - integral v , du , integral x cdot arctan(x) , dx = arctan(x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 11 + x^2 , dx , , e definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x^22(1 + x^2) , dx = 12 integral x^21 + x^2 , dx
Observa que 12 integral (1 - 11 + x^2) , dx = 12 integral 1 , dx - 12 integral 11 + x^2 , dx . Então:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 integral 1 , dx = x2
E:
12 integral 11 + x^2 , dx = 12 arctan(x)

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
integral x cdot arctan(x) , dx = x^22 arctan(x) - (x2 - 12 arctan(x)) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando os termos:
integral x cdot arctan(x) , dx = x^22 arctan(x) - x2 + 12 arctan(x) + C

Resposta

integral x cdot arctan(x) , dx = x^22 arctan(x) - x2 + 12 arctan(x) + C

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