Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é super útil quando temos um produto de duas funções, como aqui. Pra começar, precisamos lembrar a fórmula básica da integração por partes:
Então, vamos identificar qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 2

Primeiro, escolhemos como a parte que vai simplificar quando derivarmos. Aqui, vamos deixar:
Isso significa que o que sobra será :
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos derivar para achar :
E agora, vamos integrar para achar :

Passo 4

Com , , , e definidos, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral:
Observa que . Então:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
E:

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando os termos:

Resposta

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Use substituição trigonométrica, e quando necessário complete o quadrado, para calcular as seguintes integrais indefinidas.
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Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
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