Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral sen^3 x cdot cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral trigonométrica:
integral sin^3 x cdot cos^2 x , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração, como a substituição trigonométrica e as identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integral. Observe que sin^3 x pode ser reescrito como sin^2 x cdot sin x. Então, temos:
integral sin^3 x cdot cos^2 x , dx = integral sin^2 x cdot sin x cdot cos^2 x , dx

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica sin^2 x = 1 - cos^2 x para substituir sin^2 x na expressão:
integral (1 - cos^2 x) cdot sin x cdot cos^2 x , dx
Expandindo isso, ficamos com:
integral sin x cdot cos^2 x , dx - integral sin x cdot cos^4 x , dx

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente. Para facilitar, podemos usar a substituição u = cos x. Assim, a derivada de u em relação a x é du = -sin x , dx, ou seja, -sin x , dx = du.
Isso nos permite reescrever as integrais:
- integral u^2 , du + integral u^4 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo:
- u^33 + u^55 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Substituindo u = cos x, a integral fica:
cos^5 x5 - cos^3 x3 + C

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