Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
integral e^x cdot sen x d x

Passo 1

Então, temos o problema de calcular a integral indefinida de em relação a . Isso faz parte do tópico de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar da fórmula de integração por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = e^x e dv = sin(x) , dx e . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar, e como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos encontrar du = ddx(e^x) , dx = e^x , dx e v = integral sin(x) , dx = -cos(x) :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^x cdot sin(x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= e^x cdot (-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot e^x , dx
Simplificando:
= -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) , dx

Passo 5

Agora, temos outra integral para resolver: u = e^x e dv = cos(x) , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, vamos escolher:

Passo 6

Encontrando du = e^x , dx e v = integral cos(x) , dx = sin(x) :

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral e^x cos(x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo:
= e^x cdot sin(x) - integral sin(x) cdot e^x , dx
Ou seja:
= e^x sin(x) - integral e^x sin(x) , dx

Passo 8

Agora, vamos substituir essa expressão na nossa equação anterior:
integral e^x sin(x) , dx = -e^x cos(x) + ( e^x sin(x) - integral e^x sin(x) , dx )
Simplificando:
integral e^x sin(x) , dx = -e^x cos(x) + e^x sin(x) - integral e^x sin(x) , dx

Passo 9

Vamos somar 2 integral e^x sin(x) , dx = e^x (sin(x) - cos(x)) dos dois lados para isolar a integral:
integral e^x sin(x) , dx = e^x (sin(x) - cos(x))2 + C
Dividindo ambos os lados por 2:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral e^x (sin(x) - cos(x))2 + C é igual a:

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