Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.

Passo 1

Então, temos o problema de calcular a integral indefinida de em relação a . Isso faz parte do tópico de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar da fórmula de integração por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar, e como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos encontrar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos outra integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, vamos escolher:

Passo 6

Encontrando e :

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Substituindo:
Ou seja:

Passo 8

Agora, vamos substituir essa expressão na nossa equação anterior:
Simplificando:

Passo 9

Vamos somar dos dois lados para isolar a integral:
Dividindo ambos os lados por 2:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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