Use integração por partes para calcular cada integral indefinida a seguir.
Passo 1
Então, temos o problema de calcular a integral indefinida de
em relação a
. Isso faz parte do tópico de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar da fórmula de integração por partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que fica mais simples ao derivar, e
como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos outra integral para resolver:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, vamos escolher:
Passo 6
Encontrando
e
:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Substituindo:
Ou seja:
Passo 8
Agora, vamos substituir essa expressão na nossa equação anterior:
Simplificando:
Passo 9
Vamos somar
dos dois lados para isolar a integral:
Dividindo ambos os lados por 2:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a:
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