Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral sen^2 x cdot cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona o produto de sen²x e cos²x com sen²(2x). A identidade é:
Isso nos ajuda a reescrever a integral de uma forma mais simples.

Passo 3

Agora, substituímos a expressão simplificada na integral:
Essa constante integral sen^2 x cdot cos^2 x , dx = integral 14 sen^2 (2x) , dx = 14 integral sen^2 (2x) , dx pode sair da integral, facilitando os cálculos futuros.

Passo 4

Para integrar , vamos usar outra identidade trigonométrica que expressa sen² em termos de coseno:
Aplicando essa identidade com sen^2 (2x), temos:

Passo 5

Substituímos novamente na integral:
Isso simplifica a integral para algo mais fácil de resolver.

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
18 integral 1 , dx - 18 integral cos (4x) , dx
A integral de 1 em relação a x é simplesmente x, e a integral de cos (4x) é .

Passo 7

Portanto, a solução da integral é:
Onde 18 x - 18 cdot sen (4x)4 + C = 18 x - 132 sen (4x) + C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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