Calcule as seguintes integrais trigonométricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona o produto de sen²x e cos²x com sen²(2x). A identidade é:
Isso nos ajuda a reescrever a integral de uma forma mais simples.

Passo 3

Agora, substituímos a expressão simplificada na integral:
Essa constante pode sair da integral, facilitando os cálculos futuros.

Passo 4

Para integrar , vamos usar outra identidade trigonométrica que expressa sen² em termos de coseno:
Aplicando essa identidade com , temos:

Passo 5

Substituímos novamente na integral:
Isso simplifica a integral para algo mais fácil de resolver.

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
A integral de 1 em relação a x é simplesmente x, e a integral de é .

Passo 7

Portanto, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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Calcule:
Use substituição para calcular cada integral indefinida abaixo.