Use substituição para calcular cada integral indefinida abaixo.
integral x^3(5 x^4+2)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método de substituição. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais e potências. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que possa ser simplificada usando uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma função dentro da integral que, quando derivada, apareça também na integral. Observando o denominador , podemos tentar usar essa expressão como nossa substituição. Vamos chamar .

Passo 3

Agora, precisamos derivar dudx = 20x^3 em relação a du = 20x^3 , dx para encontrar . A derivada de é , e a derivada de uma constante é zero. Então, temos:
Isso implica que:

Passo 4

Agora, precisamos expressar x^3 , dx = du20 em termos de integral x^3(5 x^4+2)^3 , dx = integral 1u^3 cdot du20 . A partir da equação anterior:
120 integral u^-3 , du
Substituindo isso na integral original, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C em relação a 120 ( -12u^2 ) + C = -140u^2 + C . A integral de é , onde é a constante de integração, desde que . Aqui, :
Multiplicando pela constante :

Passo 6

Agora, substituímos -140(5x^4 + 2)^2 + C de volta pela expressão original em termos de , que foi :

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^3(5 x^4+2)^3 , dx = -140(5x^4+2)^2 + C

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