Calcule as seguintes integrais triplas.
(e)
, onde
é limitado por
, no primeiro octante.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral tripla
, onde a região
é delimitada por
e
, e estamos no primeiro octante. Isso envolve o uso de integrais triplas em cálculo multivariado. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e possivelmente trocar para coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela está limitada pela parábola
, que é como um paraboloide, e pela superfície plana
. Como estamos no primeiro octante, isso significa que
,
e
são todos positivos ou zero. A interseção dessas duas superfícies ocorre quando
, que é um círculo de raio
no plano
.
Passo 3
Para simplificar a integral, vamos trocar para coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Nessa troca, o elemento de volume
vira
. Além disso, nossa função
se torna
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração. No primeiro octante,
varia de
a
. O raio
vai de
até onde
é igual a
, então
varia de
a
. Por fim, para cada
,
varia de
até
.
Passo 5
Com tudo isso, nossa integral tripla em coordenadas cilíndricas fica assim:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro. A integral de
em relação a
de
a
é:
Então, agora a integral fica:
Passo 7
Vamos separar os termos:
Calculando as integrais internas:
Avaliando de
a
:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
A integral de
de
a
é
, então:
Resposta
O valor da integral tripla é
.