Calcule as seguintes integrais triplas.
(e) , onde é limitado por , no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral tripla , onde a região é delimitada por e , e estamos no primeiro octante. Isso envolve o uso de integrais triplas em cálculo multivariado. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e possivelmente trocar para coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está limitada pela parábola , que é como um paraboloide, e pela superfície plana . Como estamos no primeiro octante, isso significa que , e são todos positivos ou zero. A interseção dessas duas superfícies ocorre quando , que é um círculo de raio no plano .

Passo 3

Para simplificar a integral, vamos trocar para coordenadas cilíndricas, onde , e . Nessa troca, o elemento de volume vira . Além disso, nossa função se torna .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração. No primeiro octante, varia de a . O raio vai de até onde é igual a , então varia de a . Por fim, para cada , varia de até .

Passo 5

Com tudo isso, nossa integral tripla em coordenadas cilíndricas fica assim:
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro. A integral de em relação a de a é:
Então, agora a integral fica:

Passo 7

Vamos separar os termos:
Calculando as integrais internas:
Avaliando de a :

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
A integral de de a é , então:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Calcule
O que seria preciso fazer para mudar o sinal de ?
Calcule as seguintes integrais triplas.
(b) , onde é a região no primeiro octante limitada pelos planos ,
e o cilindro .
(3 pontos). Calcule
utilizando a mudança de variáveis definida no item 1.1.
Calcule as seguintes integrais triplas.
(f) , onde é o sólido limitado pela esfera de centro na origem e raio 2 .