Calcule as seguintes integrais triplas.
(e) integral triplaE x d x d y d z, onde E é limitado por z=x^2+y^2, z=2, no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral tripla integral triplaE x , dx , dy , dz, onde a região E é delimitada por z = x^2 + y^2 e z = 2, e estamos no primeiro octante. Isso envolve o uso de integrais triplas em cálculo multivariado. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e possivelmente trocar para coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região E. Ela está limitada pela parábola z = x^2 + y^2, que é como um paraboloide, e pela superfície plana z = 2. Como estamos no primeiro octante, isso significa que x, y e z são todos positivos ou zero. A interseção dessas duas superfícies ocorre quando x^2 + y^2 = 2, que é um círculo de raio raiz2 no plano z=2.

Passo 3

Para simplificar a integral, vamos trocar para coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta e z = z. Nessa troca, o elemento de volume dx , dy , dz vira r , dr , dtheta , dz. Além disso, nossa função x se torna rcostheta.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração. No primeiro octante, theta varia de 0 a pi2. O raio r vai de 0 até onde z = x^2 + y^2 = r^2 é igual a z = 2, então r varia de 0 a raiz2. Por fim, para cada r, z varia de r^2 até 2.

Passo 5

Com tudo isso, nossa integral tripla em coordenadas cilíndricas fica assim:
integral0^pi2 integral0^raiz2 integralr^2^2 rcostheta cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^pi2 integral0^raiz2 integralr^2^2 r^2costheta , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a z primeiro. A integral de r^2costheta em relação a z de r^2 a 2 é:
r^2costheta cdot (2 - r^2)
Então, agora a integral fica:
integral0^pi2 integral0^raiz2 r^2costheta (2 - r^2) , dr , dtheta

Passo 7

Vamos separar os termos:
integral0^pi2 costheta ( integral0^raiz2 2r^2 - r^4 , dr ) dtheta
Calculando as integrais internas:
integral 2r^2 , dr = 23r^3 e integral r^4 , dr = 15r^5
Avaliando de 0 a raiz2:
23(raiz2)^3 - 15(raiz2)^5 = 23(2raiz2) - 15(4raiz2) = 4raiz23 - 4raiz25 = 20raiz2 - 12raiz215 = 8raiz215

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^pi2 costheta cdot 8raiz215 , dtheta = 8raiz215 integral0^pi2 costheta , dtheta
A integral de costheta de 0 a pi2 é 1, então:
8raiz215 cdot 1 = 8raiz215

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac8raiz215.

Exercícios relacionados