Calcule as seguintes integrais triplas: integral-2^2 integral1^2 integral1^e x y^2z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral tripla: . A matéria envolvida é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções em várias variáveis, uma de cada vez, seguindo os limites de integração fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral1^e x y^2z , dz = x y^2 [ ln z ]1^e = x y^2 (ln e - ln 1) = x y^2 (1 - 0) = x y^2 . A expressão dentro da integral é . Aqui, e são constantes quando estamos integrando em relação a . A antiderivada de é . Então, a integral em fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado anterior em relação a integral1^2 x y^2 , dy = x [ y^33 ]1^2 = x ( 83 - 13 ) = x ( 73 ) = 73 x , de 1 a 2. A função que vamos integrar é . Aqui, é constante em relação a . A antiderivada de é . Então:

Passo 4

Por fim, vamos integrar o resultado em relação a integral-2^2 73 x , dx = 73 [ x^22 ]-2^2 = 73 ( 42 - 42 ) = 73 (2 - 2) = 73 times 0 = 0 , de -2 a 2. A função a ser integrada é . A antiderivada de é . Então:

Resposta

A integral tripla vale 0.

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