Calcule as seguintes integrais triplas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que calcular uma integral tripla do tipo:
Esse exercício está relacionado a Cálculo Integral Multivariável, mais especificamente, integrais triplas. Para resolver isso, vamos usar a propriedade da integral iterada, que nos permite calcular integrais múltiplas passo a passo, integrando uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a y, já que essa é a variável mais interna. A parte da função que depende de y é
.
A integral em relação a y fica assim:
A integral de
em relação a y é
. Então, calculando os limites:
Então, a integral em relação a y resulta em 1.
Passo 3
Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral original. A expressão fica:
Agora, vamos integrar em relação a x. A parte da função que depende de x é
.
A integral em relação a x fica:
A integral de
em relação a x é
. Calculando os limites:
Então, a integral em relação a x resulta em
.
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na expressão restante:
Vamos integrar em relação a z. A parte da função que depende de z é
.
A integral em relação a z fica:
A integral de
em relação a z é
. Calculando os limites:
Então, a integral em relação a z resulta em 1.
Resposta
Multiplicando todos os resultados obtidos:
Portanto, o valor da integral tripla é
.
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Uma empresa deseja produzir latas de leite em pó em forma de prisma hexagonal regular reto. Determine o volume máximo que uma lata assim pode conter, sendo que sua superficie mede
(com base e tampa); confirme o caráter do ponto crítico. (Despreze sobras e desperdicios.) (3pts)
Resolva o problema de valor inicial
para o caso onde
.
Calcule as seguintes integrais triplas:
Calcule
Dica: fatore o numerador e o denominador.