Calcule as seguintes integrais triplas: integral0^pi / 2 integral0^1 integral0^pi / 2 sen(pi x) cos (y) sen(2 z) d y d x d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular uma integral tripla do tipo:
integral0^pi / 2 integral0^1 integral0^pi / 2 sin(pi x) cos(y) sin(2 z) , dy , dx , dz
Esse exercício está relacionado a Cálculo Integral Multivariável, mais especificamente, integrais triplas. Para resolver isso, vamos usar a propriedade da integral iterada, que nos permite calcular integrais múltiplas passo a passo, integrando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a y, já que essa é a variável mais interna. A parte da função que depende de y é integral0^pi / 2 cos(y) , dy .
A integral em relação a y fica assim:
sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
A integral de em relação a y é . Então, calculando os limites:
Então, a integral em relação a y resulta em 1.

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral original. A expressão fica:
integral0^1 sin(pi x) cdot 1 cdot sin(2 z) , dx , dz = integral0^1 sin(pi x) sin(2 z) , dx , dz
Agora, vamos integrar em relação a x. A parte da função que depende de x é integral0^1 sin(pi x) , dx .
A integral em relação a x fica:
-1pi cos(pi cdot 1) + 1pi cos(0) = -1pi (-1) + 1pi (1) = 1pi + 1pi = 2pi
A integral de em relação a x é . Calculando os limites:
Então, a integral em relação a x resulta em .

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na expressão restante:
2pi integral0^pi / 2 sin(2 z) , dz
Vamos integrar em relação a z. A parte da função que depende de z é integral0^pi / 2 sin(2 z) , dz .
A integral em relação a z fica:
-12 cos(2 cdot pi2) + 12 cos(0) = -12 cos(pi) + 12 (1) = -12 (-1) + 12 = 12 + 12 = 1
A integral de em relação a z é . Calculando os limites:
Então, a integral em relação a z resulta em 1.

Resposta

Multiplicando todos os resultados obtidos:
2pi times 1 = 2pi
Portanto, o valor da integral tripla é .

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