Uma empresa deseja produzir latas de leite em pó em forma de prisma hexagonal regular reto. Determine o volume máximo que uma lata assim pode conter, sendo que sua superficie mede
(com base e tampa); confirme o caráter do ponto crítico. (Despreze sobras e desperdicios.) (3pts)
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a questão pede. A empresa quer fabricar latas de leite em pó com a forma de um prisma hexagonal regular reto. Nosso objetivo é encontrar o volume máximo que essa lata pode conter, sabendo que a área total da superfície dela é de
.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria relacionados a prismas, especificamente:
- Prisma hexagonal regular reto: tem duas bases hexagonais iguais e 6 faces retangulares.
- Área da superfície: soma das áreas das bases e das faces laterais.
- Volume do prisma: área da base multiplicada pela altura.
Vamos seguir passo a passo para encontrar o volume máximo.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a área total da superfície do prisma. Um prisma hexagonal regular reto tem duas bases e seis retângulos laterais. A fórmula para a área total (
) é:
Onde:
-
é a área de uma base hexagonal. -
é a área das seis faces laterais.
Sabemos que
.
Passo 3
Vamos calcular a área de uma base hexagonal (
). A área de um hexágono regular pode ser calculada usando a fórmula:
Onde
é o lado do hexágono.
Mas precisamos também considerar a área das faces laterais. Cada face lateral é um retângulo com altura
e base
. Como são 6 faces, a área total das faces laterais (
) é:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da área total:
Simplificando:
Passo 5
Nosso objetivo é maximizar o volume (
) do prisma, que é dado por:
Precisamos expressar
em função de uma única variável. Vamos resolver a equação da área total para
:
Passo 6
Substituímos
na fórmula do volume:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora que temos
, substituímos de volta para encontrar
:
Substituindo
:
Passo 9
Finalmente, substituímos
e
na fórmula do volume para encontrar o volume máximo:
Simplificando os termos:
Passo 10
Para confirmar o caráter do ponto crítico, verificamos a segunda derivada. Se
, então temos um ponto de máximo.
Calculando a segunda derivada:
Como
é negativo, confirmamos que o ponto crítico encontrado corresponde a um máximo.
Resposta
O volume máximo da lata é aproximadamente
, e o ponto crítico identificado corresponde a um máximo.
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial
para o caso onde
.
Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante:
na ordem
.
Calcule as seguintes integrais triplas:
Calcule as seguintes integrais triplas: