Uma empresa deseja produzir latas de leite em pó em forma de prisma hexagonal regular reto. Determine o volume máximo que uma lata assim pode conter, sendo que sua superficie mede 490 cm^2 (com base e tampa); confirme o caráter do ponto crítico. (Despreze sobras e desperdicios.) (3pts)

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão pede. A empresa quer fabricar latas de leite em pó com a forma de um prisma hexagonal regular reto. Nosso objetivo é encontrar o volume máximo que essa lata pode conter, sabendo que a área total da superfície dela é de .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria relacionados a prismas, especificamente:
  • Prisma hexagonal regular reto: tem duas bases hexagonais iguais e 6 faces retangulares.
  • Área da superfície: soma das áreas das bases e das faces laterais.
  • Volume do prisma: área da base multiplicada pela altura.
Vamos seguir passo a passo para encontrar o volume máximo.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a área total da superfície do prisma. Um prisma hexagonal regular reto tem duas bases e seis retângulos laterais. A fórmula para a área total ( ) é:
Onde:
  • é a área de uma base hexagonal.
  • é a área das seis faces laterais.
Sabemos que .

Passo 3

Vamos calcular a área de uma base hexagonal ( ). A área de um hexágono regular pode ser calculada usando a fórmula:
Onde é o lado do hexágono.
Mas precisamos também considerar a área das faces laterais. Cada face lateral é um retângulo com altura e base . Como são 6 faces, a área total das faces laterais ( ) é:

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da área total:
Simplificando:

Passo 5

Nosso objetivo é maximizar o volume ( ) do prisma, que é dado por:
Precisamos expressar em função de uma única variável. Vamos resolver a equação da área total para :

Passo 6

Substituímos na fórmula do volume:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos , substituímos de volta para encontrar :
Substituindo :

Passo 9

Finalmente, substituímos e na fórmula do volume para encontrar o volume máximo:
Simplificando os termos:

Passo 10

Para confirmar o caráter do ponto crítico, verificamos a segunda derivada. Se , então temos um ponto de máximo.
Calculando a segunda derivada:
Como é negativo, confirmamos que o ponto crítico encontrado corresponde a um máximo.

Resposta

O volume máximo da lata é aproximadamente , e o ponto crítico identificado corresponde a um máximo.

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Resolva o problema de valor inicial
y' + 2y = x
para o caso onde y(0) = 1.
Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante: integral0^2 integral0^3 integral0^5 x y^2 z d y d z d x na ordem d x d y d z.
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Calcule as seguintes integrais triplas: integral-2^2 integral1^2 integral1^e x y^2z d z d y d x