Encontre a solução do problema de valor inicial
2 y'' + y' + 2 y = delta(t-5), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com uma condição inicial. A equação é:
com as condições iniciais e .
Matéria envolvida: Resolução de equações diferenciais utilizando a Transformada de Laplace, especialmente quando há termos como a função delta de Dirac ( ).
O que vamos precisar:
  1. Conhecimento de Transformada de Laplace e suas propriedades.
  2. Saber lidar com funções de impulso na Transformada de Laplace.
  3. Manipular equações algébricas no domínio da transformada.
  4. Aplicar a Transformada Inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace transforma equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a resolução.
Lembrando que:
Aplicando a transformada:
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Simplificando:
Fatorando :

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Para achar , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Mas primeiro, vamos simplificar a fração no denominador para facilitar a inversão.
Vamos fatorar o denominador ou completar o quadrado:
Completando o quadrado:
Então,

Passo 5

Agora, expressamos de maneira que possamos aplicar a Transformada Inversa:
Reconhecemos que a Transformada Inversa de uma expressão desse tipo envolve funções senoidais e exponenciais. Além disso, o termo indica um atraso no tempo de 5 unidades, ou seja, é uma função que começa a agir a partir de .
Usando a propriedade de deslocamento no tempo:
onde é a função degrau unitário.
Aplicando isso:
A Transformada Inversa dessa expressão é uma função exponencial multiplicada por uma função senoidal. Portanto:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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