Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com uma condição inicial. A equação é:
com as condições iniciais
e
.
Matéria envolvida: Resolução de equações diferenciais utilizando a Transformada de Laplace, especialmente quando há termos como a função delta de Dirac (
).
O que vamos precisar:
- Conhecimento de Transformada de Laplace e suas propriedades.
- Saber lidar com funções de impulso na Transformada de Laplace.
- Manipular equações algébricas no domínio da transformada.
- Aplicar a Transformada Inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace transforma equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a resolução.
Lembrando que:
Aplicando a transformada:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
na equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Para achar
, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Mas primeiro, vamos simplificar a fração no denominador para facilitar a inversão.
Vamos fatorar o denominador ou completar o quadrado:
Completando o quadrado:
Então,
Passo 5
Agora, expressamos
de maneira que possamos aplicar a Transformada Inversa:
Reconhecemos que a Transformada Inversa de uma expressão desse tipo envolve funções senoidais e exponenciais. Além disso, o termo
indica um atraso no tempo de 5 unidades, ou seja, é uma função que começa a agir a partir de
.
Usando a propriedade de deslocamento no tempo:
onde
é a função degrau unitário.
Aplicando isso:
A Transformada Inversa dessa expressão é uma função exponencial multiplicada por uma função senoidal. Portanto:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: