Calcule as seguintes integrais triplas: integral0^2 integral0^4 integraly^2^4 raizx d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral0^2 integral0^4 integraly^2^4 raizx , dz , dx , dy
Aqui, estamos lidando com uma integral tripla, que significa que vamos integrar uma função em três dimensões, ou seja, em relação a três variáveis: , e . A função que estamos integrando é , e temos limites de integração para cada uma dessas variáveis. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, integrando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integraly^2^4 raizx , dz. Olhe só a parte interna da integral:
integraly^2^4 raizx , dz = raizx times (4 - y^2)
Aqui, integral0^2 integral0^4 raizx times (4 - y^2) , dx , dy não depende de , então integrar em relação a é como multiplicar pela largura do intervalo de . A largura é de até 4, ou seja, . Então:
Agora, nossa integral fica assim:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a integral0^4 raizx times (4 - y^2) , dx. A próxima parte da integral é:
(4 - y^2) integral0^4 raizx , dx
Aqui, integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2 + C é uma constante em relação a 23 times 4^3/2 - 23 times 0^3/2 = 23 times 8 = 163 , então podemos sair com ela:
(4 - y^2) times 163 = 163 (4 - y^2)
Para integrar integral0^2 163 (4 - y^2) , dy , lembramos que . A integral de é:
Aplicando os limites de 0 a 4:
Então, a integral em relação a fica:
Agora, nossa integral simplificada é:

Passo 4

Finalmente, vamos integrar em relação a integral0^2 163 (4 - y^2) , dy :
163 integral0^2 (4 - y^2) , dy
Primeiro, vamos fatorar a constante:
integral (4 - y^2) , dy = 4y - y^33 + C
Agora, integramos (4 times 2 - 2^33) - (4 times 0 - 0^33) = (8 - 83) - 0 = 243 - 83 = 163 em relação a 163 times 163 = 2569 :
Aplicando os limites de 0 a 2:
Multiplicando pela constante:

Resposta

A integral tripla vale .

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