Calcule as seguintes integrais triplas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com uma integral tripla, que significa que vamos integrar uma função em três dimensões, ou seja, em relação a três variáveis:
,
e
. A função que estamos integrando é
, e temos limites de integração para cada uma dessas variáveis. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, integrando uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. Olhe só a parte interna da integral:
Aqui,
não depende de
, então integrar em relação a
é como multiplicar
pela largura do intervalo de
. A largura é de
até 4, ou seja,
. Então:
Agora, nossa integral fica assim:
Passo 3
Agora, vamos integrar em relação a
. A próxima parte da integral é:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos sair com ela:
Para integrar
, lembramos que
. A integral de
é:
Aplicando os limites de 0 a 4:
Então, a integral em relação a
fica:
Agora, nossa integral simplificada é:
Passo 4
Finalmente, vamos integrar em relação a
:
Primeiro, vamos fatorar a constante:
Agora, integramos
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Multiplicando pela constante:
Resposta
A integral tripla vale
.