Calcule as seguintes integrais triplas: integral0^2 integral0^4 integraly^2^4 raizx d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral0^2 integral0^4 integraly^2^4 raizx , dz , dx , dy
Aqui, estamos lidando com uma integral tripla, que significa que vamos integrar uma função em três dimensões, ou seja, em relação a três variáveis: , e . A função que estamos integrando é , e temos limites de integração para cada uma dessas variáveis. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, integrando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integraly^2^4 raizx , dz. Olhe só a parte interna da integral:
integraly^2^4 raizx , dz = raizx times (4 - y^2)
Aqui, integral0^2 integral0^4 raizx times (4 - y^2) , dx , dy não depende de , então integrar em relação a é como multiplicar pela largura do intervalo de . A largura é de até 4, ou seja, . Então:
Agora, nossa integral fica assim:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a integral0^4 raizx times (4 - y^2) , dx. A próxima parte da integral é:
(4 - y^2) integral0^4 raizx , dx
Aqui, integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2 + C é uma constante em relação a 23 times 4^3/2 - 23 times 0^3/2 = 23 times 8 = 163 , então podemos sair com ela:
(4 - y^2) times 163 = 163 (4 - y^2)
Para integrar integral0^2 163 (4 - y^2) , dy , lembramos que . A integral de é:
Aplicando os limites de 0 a 4:
Então, a integral em relação a fica:
Agora, nossa integral simplificada é:

Passo 4

Finalmente, vamos integrar em relação a integral0^2 163 (4 - y^2) , dy :
163 integral0^2 (4 - y^2) , dy
Primeiro, vamos fatorar a constante:
integral (4 - y^2) , dy = 4y - y^33 + C
Agora, integramos (4 times 2 - 2^33) - (4 times 0 - 0^33) = (8 - 83) - 0 = 243 - 83 = 163 em relação a 163 times 163 = 2569 :
Aplicando os limites de 0 a 2:
Multiplicando pela constante:

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados

Mostre que
lim (x, y) (0,0) xx^2+y^2
não existe.
Seja y = p(t) a população de uma espécie dada no instante t. A hipótese mais simples sobre a variação da população é que a taxa de variação de y é proporcional ao valor atual de y, isto é,
d y/d t = r y
onde a constante de proporcionalidade r > 0 é chamada taxa de crescimento. Esse modelo foi proposto pela primeira vez pelo economista Thomas Malthus em 1798. Uma adaptação desse modelo foi proposta pelo matemático P.F. Verhulst em 1838 através da equação
d y / d t = r (1 - y / K) y
Essa equação é chamada de equação logística. Resolva a equação logística para K = 1 e r = 0.5.
Seja
f(x, y)= x^4 / y^2, & y neq 0 0, & y=0
Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y).
Seja
g(x, y)=l 1, y=x^3 neq 0 0, caso contrário á
Calcule lim (x, y) (0,0) g(x, y).