Seja
Calcule
.
Passo 1
Vamos resolver o limite de uma função de duas variáveis. O enunciado nos pede para calcular:
onde a função
é definida da seguinte forma:
Para resolver esse limite, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caminho onde
. Nesse caso, sempre que
e
, a função
vale 1.
Então, ao nos aproximarmos de
por esse caminho, temos:
Isso significa que, ao seguir o caminho
, o limite da função é 1.
Passo 3
Agora, vamos escolher um caminho diferente para nos aproximarmos de
. Vamos considerar o eixo
.
Nesse caso, quando
, a função
vale 0, já que
(exceto possivelmente em
, mas estamos considerando aproximações onde
não é exatamente 0).
Então, ao nos aproximarmos de
por esse caminho, temos:
Isso significa que, ao seguir o caminho
, o limite da função é 0.
Passo 4
Observamos que ao nos aproximarmos de
por caminhos diferentes, obtemos limites diferentes:
- Pelo caminho
, o limite é 1. - Pelo caminho
, o limite é 0.
Quando uma função de várias variáveis possui limites diferentes ao se aproximar do mesmo ponto por caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe.
Exercícios relacionados
Seja
Calcule
.
Calcule as seguintes integrais triplas:
Encontre
.
(g)
(g)
Verifique se a função
é contínua em
. Se for, tente provar por usando
e
.