Seja
g(x, y)=l 1, y=x^3 neq 0 0, caso contrário á
Calcule lim (x, y) (0,0) g(x, y).

Passo 1

Vamos resolver o limite de uma função de duas variáveis. O enunciado nos pede para calcular:
lim (x, y) (0,0) g(x, y)
onde a função g(x, y)=l 1, y=x^3 neq 0 0, caso contrário é definida da seguinte forma:
á
Para resolver esse limite, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde lim x 0 g(x, x^3) = lim x 0 1 = 1 . Nesse caso, sempre que e , a função vale 1.
Então, ao nos aproximarmos de por esse caminho, temos:
Isso significa que, ao seguir o caminho , o limite da função é 1.

Passo 3

Agora, vamos escolher um caminho diferente para nos aproximarmos de lim x 0 g(x, 0) = lim x 0 0 = 0 . Vamos considerar o eixo .
Nesse caso, quando , a função vale 0, já que (exceto possivelmente em , mas estamos considerando aproximações onde não é exatamente 0).
Então, ao nos aproximarmos de por esse caminho, temos:
Isso significa que, ao seguir o caminho , o limite da função é 0.

Passo 4

Observamos que ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes, obtemos limites diferentes:
  • Pelo caminho , o limite é 1.
  • Pelo caminho , o limite é 0.
Quando uma função de várias variáveis possui limites diferentes ao se aproximar do mesmo ponto por caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Seja
f(x, y)= x^4 / y^2, & y neq 0 0, & y=0
Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y).
Calcule as seguintes integrais triplas: integral0^2 integral0^4 integraly^2^4 raizx d z d x d y
Encontre f.
(g) f'(x) = 2/x, x < 0, f(-1) = 7
Verifique se a função
f(x, y) = { x^3 / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }
é contínua em R^2. Se for, tente provar por usando epsilon e delta.