Mostre que
lim (x, y) (0,0) xx^2+y^2
não existe.

Passo 1

Vamos resolver o limite
lim(x, y) (0,0) xx^2+y^2
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos abordar o ponto f(x, 0) = xx^2+0^2 = xx^2 = 1x ao longo do eixo limx to 0 1x , ou seja, fixando . Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Esse limite não existe porque, à medida que se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a , e pelo lado negativo tende a .

Passo 3

Vamos agora abordar o ponto f(x, x) = xx^2+x^2 = x2x^2 = 12x ao longo da linha limx to 0 12x . Substituindo por na função:
Calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Assim como no passo anterior, esse limite também não existe porque tende a quando se aproxima de 0 pelo lado positivo e a pelo lado negativo.

Passo 4

Observamos que, ao abordar por diferentes caminhos, obtemos comportamentos diferentes para o limite. No caso de e , os limites tendem a e , dependendo da direção de aproximação.

Resposta

Como os limites ao se aproximar de lim(x, y) (0,0) xx^2+y^2 por diferentes caminhos não são iguais, concluímos que
não existe.

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