Mostre que
não existe.
Passo 1
Vamos resolver o limite
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos abordar o ponto
ao longo do eixo
, ou seja, fixando
. Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Esse limite não existe porque, à medida que
se aproxima de 0 pelo lado positivo,
tende a
, e pelo lado negativo tende a
.
Passo 3
Vamos agora abordar o ponto
ao longo da linha
. Substituindo
por
na função:
Calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Assim como no passo anterior, esse limite também não existe porque tende a
quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo e a
pelo lado negativo.
Passo 4
Observamos que, ao abordar
por diferentes caminhos, obtemos comportamentos diferentes para o limite. No caso de
e
, os limites tendem a
e
, dependendo da direção de aproximação.
Resposta
Como os limites ao se aproximar de
por diferentes caminhos não são iguais, concluímos que
não existe.
Exercícios relacionados
Seja
a população de uma espécie dada no instante t. A hipótese mais simples sobre a variação da população é que a taxa de variação de y é proporcional ao valor atual de y, isto é,
onde a constante de proporcionalidade
é chamada taxa de crescimento. Esse modelo foi proposto pela primeira vez pelo economista Thomas Malthus em 1798. Uma adaptação desse modelo foi proposta pelo matemático P.F. Verhulst em 1838 através da equação
Essa equação é chamada de equação logística. Resolva a equação logística para
e
.
Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante:
na ordem
.
Calcule as seguintes integrais triplas:
Seja
Calcule
.