Mostre que
lim (x, y) (0,0) xx^2+y^2
não existe.

Passo 1

Vamos resolver o limite
lim(x, y) (0,0) xx^2+y^2
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos abordar o ponto f(x, 0) = xx^2+0^2 = xx^2 = 1x ao longo do eixo limx to 0 1x , ou seja, fixando . Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Esse limite não existe porque, à medida que se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a , e pelo lado negativo tende a .

Passo 3

Vamos agora abordar o ponto f(x, x) = xx^2+x^2 = x2x^2 = 12x ao longo da linha limx to 0 12x . Substituindo por na função:
Calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Assim como no passo anterior, esse limite também não existe porque tende a quando se aproxima de 0 pelo lado positivo e a pelo lado negativo.

Passo 4

Observamos que, ao abordar por diferentes caminhos, obtemos comportamentos diferentes para o limite. No caso de e , os limites tendem a e , dependendo da direção de aproximação.

Resposta

Como os limites ao se aproximar de lim(x, y) (0,0) xx^2+y^2 por diferentes caminhos não são iguais, concluímos que
não existe.

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Seja y = p(t) a população de uma espécie dada no instante t. A hipótese mais simples sobre a variação da população é que a taxa de variação de y é proporcional ao valor atual de y, isto é,
d y/d t = r y
onde a constante de proporcionalidade r > 0 é chamada taxa de crescimento. Esse modelo foi proposto pela primeira vez pelo economista Thomas Malthus em 1798. Uma adaptação desse modelo foi proposta pelo matemático P.F. Verhulst em 1838 através da equação
d y / d t = r (1 - y / K) y
Essa equação é chamada de equação logística. Resolva a equação logística para K = 1 e r = 0.5.
Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante: integral0^1 integral0^1-x^2 integral0^raiz1-x^2 d y d z d x na ordem d z d y d x.
Calcule as seguintes integrais triplas: integral0^2 integral0^4 integraly^2^4 raizx d z d x d y
Seja
f(x, y)= x^4 / y^2, & y neq 0 0, & y=0
Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y).