Mostre que
não existe.
Passo 1
Vamos resolver o limite
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos abordar o ponto
ao longo do eixo
, ou seja, fixando
. Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Esse limite não existe porque, à medida que
se aproxima de 0 pelo lado positivo,
tende a
, e pelo lado negativo tende a
.
Passo 3
Vamos agora abordar o ponto
ao longo da linha
. Substituindo
por
na função:
Calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Assim como no passo anterior, esse limite também não existe porque tende a
quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo e a
pelo lado negativo.
Passo 4
Observamos que, ao abordar
por diferentes caminhos, obtemos comportamentos diferentes para o limite. No caso de
e
, os limites tendem a
e
, dependendo da direção de aproximação.
Resposta
Como os limites ao se aproximar de
por diferentes caminhos não são iguais, concluímos que
não existe.