Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função definida por:
E precisamos calcular o limite dessa função quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e analisar se o limite existe ou não.
Passo 2
Vamos começar analisando a função quando f(x, y) = dfracx^4y^2 :
Para investigar o limite, podemos tentar diferentes caminhos pelos quais se aproxima de e verificar se o limite é o mesmo em todos esses caminhos.
Passo 3
Primeiro, consideremos o caminho onde f(x, x) = dfracx^4x^2 = x^2 . Substituindo na função:
limx to 0 x^2 = 0
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.
Passo 4
Agora, consideremos um caminho diferente, por exemplo, f(x, x^2) = dfracx^4(x^2)^2 = dfracx^4x^4 = 1 . Substituindo na função:
limx to 0 1 = 1
Calculando o limite quando se aproxima de 0:
Assim, ao longo do caminho , o limite é 1.
Passo 5
Observamos que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de . Em um caso, obtemos 0, e no outro, 1. Isso significa que os limites não são iguais para todos os caminhos possíveis.
Resposta
Como o limite depende do caminho escolhido, o limite não existe.