Seja
f(x, y)= x^4 / y^2, & y neq 0 0, & y=0
Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função f(x, y)= dfracx^4y^2, & y neq 0 0, & y=0 definida por:
E precisamos calcular o limite dessa função quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e analisar se o limite existe ou não.

Passo 2

Vamos começar analisando a função quando f(x, y) = dfracx^4y^2 :
Para investigar o limite, podemos tentar diferentes caminhos pelos quais se aproxima de e verificar se o limite é o mesmo em todos esses caminhos.

Passo 3

Primeiro, consideremos o caminho onde f(x, x) = dfracx^4x^2 = x^2 . Substituindo na função:
limx to 0 x^2 = 0
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 4

Agora, consideremos um caminho diferente, por exemplo, f(x, x^2) = dfracx^4(x^2)^2 = dfracx^4x^4 = 1 . Substituindo na função:
limx to 0 1 = 1
Calculando o limite quando se aproxima de 0:
Assim, ao longo do caminho , o limite é 1.

Passo 5

Observamos que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de . Em um caso, obtemos 0, e no outro, 1. Isso significa que os limites não são iguais para todos os caminhos possíveis.

Resposta

Como o limite depende do caminho escolhido, o limite não existe.

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Calcule as seguintes integrais triplas: integral0^2 integral0^4 integraly^2^4 raizx d z d x d y
Mostre que
lim (x, y) (0,0) xx^2+y^2
não existe.
Seja
g(x, y)=l 1, y=x^3 neq 0 0, caso contrário á
Calcule lim (x, y) (0,0) g(x, y).
Encontre f.
(g) f'(x) = 2/x, x < 0, f(-1) = 7