Calcule as seguintes integrais triplas:
Passo 1
Vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral tripla:
Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar integrar a função
primeiro em relação a
, depois
e por último
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A integral que temos é:
Como
e
são constantes em relação a
, podemos simplificar a expressão:
A integral de
em relação a
é
. Então:
Sabendo que
, temos
e
. Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos integrar em relação a
:
A constante
pode ser tirada da integral:
Integrando
em relação a
, temos
:
Como
e
:
Passo 4
Por último, vamos integrar em relação a
:
A constante
pode ficar fora da integral:
A integral de
em relação a
é
:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
No instante
, uma bolinha é arremessada da superficie, sob efeito apenas da aceleração gravitacional
, com velocidade inicial
e ângulo
com a horizontal. Determine a taxa de variação do ângulo
entre a bolinha, o ponto de arremesso e a horizontal, em função apenas de
e
. (Sugestão: formule
em termos da distância horizontal e da altura, depois derive.) (2pts)
Determine as integrais
Escreva o polinômio de Taylor de segundo grau de
em torno de 1 e utilize-o para estimar
Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante:
na ordem
.