Calcule as seguintes integrais triplas: integral0^ln 8 integral0^ln 4 integral0^ln 2 e^-x-y-2 z d x d y d z

Passo 1

Vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral tripla:
integral0^ln 8 integral0^ln 4 integral0^ln 2 e^-x-y-2 z , dx , dy , dz
Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar integrar a função primeiro em relação a , depois e por último .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^ln 2 e^-x - y - 2z , dx . A integral que temos é:
e^-y - 2z integral0^ln 2 e^-x , dx
Como e^-y - 2z [ -e^-x ]0^ln 2 = e^-y - 2z ( -e^-ln 2 + e^0 ) e e^-y - 2z ( -12 + 1 ) = e^-y - 2z ( 12 ) = 12 e^-y - 2z são constantes em relação a , podemos simplificar a expressão:
A integral de em relação a é . Então:
Sabendo que , temos e . Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a integral0^ln 4 12 e^-y - 2z , dy :
12 e^-2z integral0^ln 4 e^-y , dy
A constante 12 e^-2z [ -e^-y ]0^ln 4 = 12 e^-2z ( -e^-ln 4 + e^0 ) pode ser tirada da integral:
12 e^-2z ( -14 + 1 ) = 12 e^-2z ( 34 ) = 38 e^-2z
Integrando em relação a , temos :
Como e :

Passo 4

Por último, vamos integrar em relação a integral0^ln 8 38 e^-2z , dz :
38 integral0^ln 8 e^-2z , dz
A constante 38 [ -12 e^-2z ]0^ln 8 = 38 ( -12 e^-2ln 8 + 12 e^0 ) pode ficar fora da integral:
38 ( -12 cdot 18^2 + 12 ) = 38 ( -1128 + 12 )
A integral de = 38 ( -1 + 64128 ) = 38 cdot 63128 = 1891024 em relação a é :
Simplificando:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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