No instante t = 0, uma bolinha é arremessada da superficie, sob efeito apenas da aceleração gravitacional g, com velocidade inicial V0 e ângulo theta_0 com a horizontal. Determine a taxa de variação do ângulo theta entre a bolinha, o ponto de arremesso e a horizontal, em função apenas de g, V0, theta0 e t. (Sugestão: formule tg(theta) em termos da distância horizontal e da altura, depois derive.) (2pts)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma bolinha que é lançada do chão com uma velocidade inicial e em um ângulo em relação à horizontal. Só a gravidade está agindo sobre ela. Precisamos descobrir como o ângulo entre a bolinha, o ponto de lançamento e a horizontal está mudando com o tempo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente o movimento oblíquo, e derivadas para encontrar a taxa de variação desse ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a bolinha se move. Ela tem um movimento horizontal e um movimento vertical. A posição horizontal e a posição vertical no tempo são dadas por:
Aqui, usamos as componentes da velocidade inicial para determinar o movimento em cada direção.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ângulo que a bolinha faz com a horizontal no tempo . Esse ângulo pode ser encontrado usando a função tangente:
Simplificando essa expressão:

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de variação do ângulo em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a expressão de em relação ao tempo.
Se , então:

Passo 5

Vamos calcular :
Derivando em relação a :

Passo 6

Substituindo e na fórmula da derivada:

Resposta

A taxa de variação do ângulo em função de , , e é dada por:

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