No instante
, uma bolinha é arremessada da superficie, sob efeito apenas da aceleração gravitacional
, com velocidade inicial
e ângulo
com a horizontal. Determine a taxa de variação do ângulo
entre a bolinha, o ponto de arremesso e a horizontal, em função apenas de
e
. (Sugestão: formule
em termos da distância horizontal e da altura, depois derive.) (2pts)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma bolinha que é lançada do chão com uma velocidade inicial
e em um ângulo
em relação à horizontal. Só a gravidade
está agindo sobre ela. Precisamos descobrir como o ângulo
entre a bolinha, o ponto de lançamento e a horizontal está mudando com o tempo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente o movimento oblíquo, e derivadas para encontrar a taxa de variação desse ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a bolinha se move. Ela tem um movimento horizontal e um movimento vertical. A posição horizontal
e a posição vertical
no tempo
são dadas por:
Aqui, usamos as componentes da velocidade inicial para determinar o movimento em cada direção.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o ângulo
que a bolinha faz com a horizontal no tempo
. Esse ângulo pode ser encontrado usando a função tangente:
Simplificando essa expressão:
Passo 4
Queremos encontrar a taxa de variação do ângulo
em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a expressão de
em relação ao tempo.
Se
, então:
Passo 5
Vamos calcular
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula da derivada:
Resposta
A taxa de variação do ângulo
em função de
,
,
e
é dada por:
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Calcule as seguintes integrais triplas:
Escreva o polinômio de Taylor de segundo grau de
em torno de 1 e utilize-o para estimar