Escreva o polinômio de Taylor de segundo grau de
em torno de 1 e utilize-o para estimar
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever o polinômio de Taylor de segundo grau da função
em torno de
e depois usar esse polinômio para estimar o valor de
.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios de Taylor, derivadas e como eles são usados para aproximar funções perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar uma função suave usando polinômios. O polinômio de segundo grau inclui até a segunda derivada da função.
A fórmula do polinômio de Taylor de segundo grau em torno de
é:
No nosso caso,
e
. Vamos precisar calcular
,
e
.
Passo 3
Primeiro, calculamos
:
Agora, a primeira derivada de
. Para isso, usamos logaritmo para facilitar:
Então, avaliando em
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Diferenciando
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Avaliando em
:
Passo 5
Agora que temos
,
e
, podemos montar o polinômio de Taylor de segundo grau:
Vamos simplificar isso:
Passo 6
Agora, vamos usar esse polinômio para estimar
.
Primeiro, observamos que queremos aproximar
. Como estamos expandindo em torno de
, o
que usamos na aproximação é
.
Substituindo
no polinômio:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
Portanto, a estimativa de
usando o polinômio de Taylor de segundo grau é aproximadamente 0,84.