Escreva o polinômio de Taylor de segundo grau de x^x em torno de 1 e utilize-o para estimar (4 / 5)^(4 / 5) * (2 pts)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever o polinômio de Taylor de segundo grau da função em torno de e depois usar esse polinômio para estimar o valor de .
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios de Taylor, derivadas e como eles são usados para aproximar funções perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar uma função suave usando polinômios. O polinômio de segundo grau inclui até a segunda derivada da função.
A fórmula do polinômio de Taylor de segundo grau em torno de é:
No nosso caso, e . Vamos precisar calcular , e .

Passo 3

Primeiro, calculamos :
Agora, a primeira derivada de . Para isso, usamos logaritmo para facilitar:
Então, avaliando em :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Diferenciando :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Avaliando em :

Passo 5

Agora que temos , e , podemos montar o polinômio de Taylor de segundo grau:
Vamos simplificar isso:

Passo 6

Agora, vamos usar esse polinômio para estimar .
Primeiro, observamos que queremos aproximar . Como estamos expandindo em torno de , o que usamos na aproximação é .
Substituindo no polinômio:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

Portanto, a estimativa de usando o polinômio de Taylor de segundo grau é aproximadamente 0,84.

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