Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante: integral0^2 integral0^3 integral0^5 x y^2 z d y d z d x na ordem d x d y d z.

Passo 1

Beleza! Temos uma integral tripla:
integral0^2 integral0^3 integral0^5 x y^2 z , dy , dz , dx
E queremos reescrevê-la mudando a ordem de integração para . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral múltiplo para ajustar os limites de integração e, depois, calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração originais:
  • integral0^3 integral0^5 integral0^2 x y^2 z , dx , dy , dz varia de 0 a 2,
  • Para cada , varia de 0 a 3,
  • Para cada , varia de 0 a 5.
Como os limites são constantes e independentes uns dos outros, ao mudar a ordem para , os limites continuam os mesmos. Assim, a nova ordem de integração fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral na nova ordem passo a passo.
1. Integração em relação a integral0^2 x y^2 z , dx = y^2 z integral0^2 x , dx = y^2 z [ x^22 ]0^2 = y^2 z ( 42 ) = 2 y^2 z :
integral0^5 2 y^2 z , dy = 2 z integral0^5 y^2 , dy = 2 z [ y^33 ]0^5 = 2 z ( 1253 ) = 2503 z
2. Integração em relação a integral0^3 2503 z , dz = 2503 integral0^3 z , dz = 2503 [ z^22 ]0^3 = 2503 ( 92 ) = 22506 = 375 :
3. Integração em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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