Determine as integrais integral x+12 x^2-5 x+2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais racionais, que são funções onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2x^2 - 5x + 2 = 2x^2 - 4x - x + 2 = 2x(x - 2) -1(x - 2) = (2x -1)(x - 2) . Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então, podemos reescrever o denominador:

Passo 3

Agora, temos a integral:
integral x+1(2x -1)(x - 2) , dx
Vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
x+1(2x -1)(x - 2) = A2x -1 + Bx - 2
Multiplicando ambos os lados por x + 1 = A(x - 2) + B(2x -1) para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos encontrar os valores de 2 + 1 = A(2 - 2) + B(2 times 2 -1) Rightarrow 3 = 0 + B(4 -1) Rightarrow 3 = 3B Rightarrow B = 1 e 12 + 1 = A(12 - 2) + B(2 times 12 -1) Rightarrow 32 = A(-32) + B(0) Rightarrow A = -1 . Explicando, escolhendo valores de que simplifiquem a equação:
  1. Se :
  1. Se :

Passo 5

Com x+1(2x -1)(x - 2) = -12x -1 + 1x - 2 e integral -12x -1 , dx + integral 1x - 2 , dx , a decomposição fica:
Agora, podemos integrar termo a termo:

Passo 6

Vamos resolver cada integral:
  1. Para -integral 1u cdot du2 = -12 ln|u| + C = -12 ln|2x -1| + C :
    • Substituímos ln|x - 2| + C , então ou .
    • A integral fica:
  2. Para :
    • A integral é direta:

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
-12 ln|2x -1| + ln|x - 2| + C
onde é a constante de integração.

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