Determine as integrais
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais racionais, que são funções onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Então, podemos reescrever o denominador:
Passo 3
Agora, temos a integral:
Vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
e
. Explicando, escolhendo valores de
que simplifiquem a equação:
- Se
:
- Se
:
Passo 5
Com
e
, a decomposição fica:
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 6
Vamos resolver cada integral:
-
Para
: - Substituímos
, então ou . - A integral fica:
- Substituímos
-
Para
: - A integral é direta:
- A integral é direta:
Resposta
Somando as duas integrais, temos:
onde
é a constante de integração.
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Determine a relação entre as dimensões
e y de um retângulo de Área
de modo que ele tenha o menor perímetro.
No instante
, uma bolinha é arremessada da superficie, sob efeito apenas da aceleração gravitacional
, com velocidade inicial
e ângulo
com a horizontal. Determine a taxa de variação do ângulo
entre a bolinha, o ponto de arremesso e a horizontal, em função apenas de
e
. (Sugestão: formule
em termos da distância horizontal e da altura, depois derive.) (2pts)
Calcule as seguintes integrais triplas: