Resolva o problema de valor inicial
para o caso onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que é uma equação diferencial do tipo linear. A equação que temos é:
E a condição inicial é
. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a resolver equações diferenciais lineares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes na nossa equação. A equação está na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Para resolver a integral
, usamos integração por partes, onde:
-
então -
então
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 7
Voltando à nossa equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: