Resolva o problema de valor inicial
y' + 2y = x
para o caso onde y(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que é uma equação diferencial do tipo linear. A equação que temos é:
E a condição inicial é . Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a resolver equações diferenciais lineares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes na nossa equação. A equação está na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Para resolver a integral , usamos integração por partes, onde:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 7

Voltando à nossa equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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