Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(d) integral e^-t cos (pi t) d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil para integrar o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar partes da nossa função que serão e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher du = -pi sin(pi t) dt e v = integral e^-t dt = -e^-t . Agora, precisamos calcular e :

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral e^-t cos(pi t) dt = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= cos(pi t) cdot (-e^-t) - integral (-e^-t) cdot (-pi sin(pi t)) dt
= -e^-t cos(pi t) - pi integral e^-t sin(pi t) dt

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral du = pi cos(pi t) dt . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos v = -e^-t e .
Calculando e :

Passo 5

Aplicando a integração por partes novamente:
integral e^-t sin(pi t) dt = uv - integral v , du
Substituindo:
= sin(pi t) cdot (-e^-t) - integral (-e^-t) cdot pi cos(pi t) dt
= -e^-t sin(pi t) + pi integral e^-t cos(pi t) dt

Passo 6

Voltemos à expressão anterior onde tínhamos:
integral e^-t cos(pi t) dt = -e^-t cos(pi t) - pi integral e^-t sin(pi t) dt
Substituindo a integral que acabamos de encontrar:
= -e^-t cos(pi t) - pi ( -e^-t sin(pi t) + pi integral e^-t cos(pi t) dt )
= -e^-t cos(pi t) + pi e^-t sin(pi t) - pi^2 integral e^-t cos(pi t) dt

Passo 7

Agora, vamos chamar a integral original de I = integral e^-t cos(pi t) dt :
I = -e^-t cos(pi t) + pi e^-t sin(pi t) - pi^2 I
Substituindo na equação:
I + pi^2 I = -e^-t cos(pi t) + pi e^-t sin(pi t)
Agora, vamos resolver para I (1 + pi^2) = -e^-t cos(pi t) + pi e^-t sin(pi t) :
I = -e^-t cos(pi t) + pi e^-t sin(pi t) 1 + pi^2

Resposta

A integral de integral e^-t cos(pi t) dt = -e^-t cos(pi t) + pi e^-t sin(pi t) 1 + pi^2 + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

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