Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(i) integral sec ^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral u , dv = u , v - integral v , du usando integração por partes.
Conteúdo da matéria: Integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções. A fórmula básica é:
O que vamos precisar: Identificar partes da nossa integral que serão e , e depois aplicar a fórmula passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar u = sec(x) Rightarrow du = sec(x) tan(x) , dx e dv = sec^2(x) , dx Rightarrow v = tan(x) :
Aqui, escolhemos porque sua derivada envolve funções que conhecemos e que facilitarão a integral resultante.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) - integral tan(x) cdot sec(x) tan(x) , dx
Simplificando a integral restante:
integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) - integral sec(x) tan^2(x) , dx

Passo 4

Sabemos que integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) - integral sec(x) (sec^2(x) - 1) , dx . Vamos substituir isso na integral:
integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) - integral sec^3(x) , dx + integral sec(x) , dx
Distribuindo :

Passo 5

Agora, vamos rearranjar os termos para isolar a integral que estamos tentando resolver:
integral sec^3(x) , dx + integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) + integral sec(x) , dx
Juntando as integrais semelhantes:
2 integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) + integral sec(x) , dx

Passo 6

Sabemos que 2 integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) + ln |sec(x) + tan(x)| + C . Vamos substituir isso na equação:

Passo 7

Finalmente, isolamos a integral integral sec^3(x) , dx = 12 sec(x) tan(x) + 12 ln |sec(x) + tan(x)| + C :

Resposta

integral sec^3(x) , dx = 12 sec(x) tan(x) + 12 ln |sec(x) + tan(x)| + C

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