Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(x)
(x)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente o método de substituição. Para isso, precisamos escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que temos
tanto no cosseno quanto no denominador. Então, vamos deixar isso ser nossa substituição.
Definimos:
Passo 3
Agora, precisamos achar a diferencial
em termos de
.
Derivando ambos os lados em relação a
:
Então:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos.
Original:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar
.
Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Por último, substituímos
de volta em termos de
.
Como
:
Resposta
A integral
é igual a:
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(i)
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