Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(f) integral arccos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais e, especificamente, a técnica de integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e como derivar e integrar funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = arccos(2x)
Então, precisamos encontrar du = ddx arccos(2x) , dx = -2raiz1 - (2x)^2 , dx = -2raiz1 - 4x^2 , dx . Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, definimos dv = dx :
v = integral dv = integral dx = x
Integrando para obter :

Passo 5

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral arccos(2x) , dx = u cdot v - integral v , du = x cdot arccos(2x) - integral x cdot (-2raiz1 - 4x^2) dx
Simplificando:
= x arccos(2x) + 2 integral xraiz1 - 4x^2 , dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral t = 1 - 4x^2 . Vamos usar uma substituição para simplificar. Seja:
dt = -8x , dx Rightarrow x , dx = -dt8
Então, derivando :

Passo 7

Substituindo na integral:
integral xraiz1 - 4x^2 , dx = integral 1raizt cdot (-dt8) = -18 integral t^-1/2 , dt
Integrando:
- 18 cdot 2 t^1/2 + C = -14 raizt + C
Lembrando que = -14 raiz1 - 4x^2 + C :

Passo 8

Voltando à nossa expressão anterior:
integral arccos(2x) , dx = x arccos(2x) + 2 (-14 raiz1 - 4x^2) + C
Simplificando:
= x arccos(2x) - 12 raiz1 - 4x^2 + C

Resposta

A integral x arccos(2x) - 12 raiz1 - 4x^2 + C é igual a:

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