Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(z) integral 3^x cos (3^x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular usando o método de substituição. Para isso, vamos precisar entender como aplicar substituição em integrais que envolvem funções compostas, como exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a expressão. Olhando para , percebemos que aparece tanto como base da exponencial quanto dentro do cosseno. Isso é uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos definir du = ddx 3^x dx = 3^x ln(3) dx . Agora, precisamos calcular a derivada de dx = du3^x ln(3) = duu ln(3) em relação a para achar :
Queremos expressar em termos de , então rearranjamos:

Passo 4

Agora, substituímos integral 3^x cos (3^x) dx = integral u cos(u) cdot duu ln(3) = 1ln(3) integral cos(u) du e na integral original:
Note que se simplificou no numerador e denominador.

Passo 5

A integral de 1ln(3) integral cos(u) du = 1ln(3) sin(u) + C em relação a é . Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por último, substituímos 1ln(3) sin(3^x) + C de volta para para obter a resposta em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

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