Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais, especificamente a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como um polinômio e uma função exponencial. Para isso, vamos precisar identificar partes da integral que correspondem a e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral original em três integrais separadas para facilitar a resolução:

Passo 3

Vamos começar resolvendo a primeira integral: .
Aqui, aplicamos a integração por partes várias vezes. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos (pois simplifica ao derivar) e . Então, calculamos e :
Aplicando a fórmula:
Esse processo precisa ser repetido até que a potência de seja reduzida a zero. Para simplificar, reconhecemos que isso gera uma série de termos. O resultado final dessa integral será uma combinação de termos de elevados a potências decrescentes multiplicados por .

Passo 4

De maneira similar, resolvemos a segunda integral: .
Novamente, aplicamos a integração por partes:
Aplicando:
E continuamos o processo até reduzir a potência de a zero.

Passo 5

Por fim, resolvemos a terceira integral: .
Aplicando integração por partes uma última vez:
Aplicando:

Resposta

Após resolver cada uma das integrais separadamente e somar os resultados, a integral original é:
Onde é a constante de integração.
Simplificando os termos:
Portanto, a solução final é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(f)
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(z)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(x)
Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes:
(b)