Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
® integral(x^5-x^3+x) e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais, especificamente a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como um polinômio e uma função exponencial. Para isso, vamos precisar identificar partes da integral que correspondem a e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral original em três integrais separadas para facilitar a resolução:
integral(x^5-x^3+x) e^-x , dx = integral x^5 e^-x , dx - integral x^3 e^-x , dx + integral x e^-x , dx

Passo 3

Vamos começar resolvendo a primeira integral: integral u , dv = uv - integral v , du .
Aqui, aplicamos a integração por partes várias vezes. A fórmula da integração por partes é:
du = 5x^4 , dx v = integral e^-x , dx = -e^-x
Escolhemos integral x^5 e^-x , dx = -x^5 e^-x + 5 integral x^4 e^-x , dx (pois simplifica ao derivar) e . Então, calculamos e :
Aplicando a fórmula:
Esse processo precisa ser repetido até que a potência de seja reduzida a zero. Para simplificar, reconhecemos que isso gera uma série de termos. O resultado final dessa integral será uma combinação de termos de elevados a potências decrescentes multiplicados por .

Passo 4

De maneira similar, resolvemos a segunda integral: u = x^3 dv = e^-x , dx du = 3x^2 , dx v = -e^-x .
Novamente, aplicamos a integração por partes:
integral x^3 e^-x , dx = -x^3 e^-x + 3 integral x^2 e^-x , dx
Aplicando:
E continuamos o processo até reduzir a potência de a zero.

Passo 5

Por fim, resolvemos a terceira integral: u = x dv = e^-x , dx du = dx v = -e^-x .
Aplicando integração por partes uma última vez:
integral x e^-x , dx = -x e^-x + integral e^-x , dx = -x e^-x - e^-x
Aplicando:

Resposta

Após resolver cada uma das integrais separadamente e somar os resultados, a integral original é:
integral(x^5-x^3+x) e^-x , dx = (-x^5 - 5x^4 - 20x^3 - 60x^2 - 120x - 120) e^-x - (-x^3 - 3x^2 - 6x - 6) e^-x + (-x - 1) e^-x + C
Onde integral(x^5-x^3+x) e^-x , dx = (-x^5 - 5x^4 - 20x^3 - 60x^2 - 120x - 120 + x^3 + 3x^2 + 6x + 6 - x - 1) e^-x + C é a constante de integração.
Simplificando os termos:
= (-x^5 - 5x^4 - 19x^3 - 57x^2 - 115x - 115) e^-x + C
integral(x^5-x^3+x) e^-x , dx = (-x^5 - 5x^4 - 19x^3 - 57x^2 - 115x - 115) e^-x + C
Portanto, a solução final é:

Exercícios relacionados