Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(g) integral 3^x cos (x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. A tarefa é calcular a integral de . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é ótima quando temos o produto de duas funções, como aqui.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que vai ser u = 3^x e dv = cos(x) , dx e o que vai ser du = 3^x ln(3) , dx e v = integral cos(x) , dx = sin(x) . Vamos deixar:
Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 3

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral 3^x cos(x) , dx = 3^x sin(x) - integral sin(x) cdot 3^x ln(3) , dx
Simplificando:
integral 3^x cos(x) , dx = 3^x sin(x) - ln(3) integral 3^x sin(x) , dx
Agora, temos uma nova integral que também precisaremos resolver.

Passo 4

Vamos aplicar integração por partes novamente nessa nova integral. De novo, escolhemos:
u = 3^x e dv = sin(x) , dx
Então:
du = 3^x ln(3) , dx e v = -cos(x)
Substituindo na fórmula:
integral 3^x sin(x) , dx = -3^x cos(x) + ln(3) integral 3^x cos(x) , dx

Passo 5

Agora, vamos voltar à nossa equação anterior:
integral 3^x cos(x) , dx = 3^x sin(x) - ln(3) ( -3^x cos(x) + ln(3) integral 3^x cos(x) , dx )
Distribuindo o integral 3^x cos(x) , dx = 3^x sin(x) + ln(3) 3^x cos(x) - (ln(3))^2 integral 3^x cos(x) , dx :
I = 3^x sin(x) + ln(3) 3^x cos(x) - (ln(3))^2 I
Vamos chamar a integral original de I + (ln(3))^2 I = 3^x sin(x) + ln(3) 3^x cos(x) :
I (1 + (ln(3))^2) = 3^x ( sin(x) + ln(3) cos(x) )
Isolando I = 3^x ( sin(x) + ln(3) cos(x) )1 + (ln(3))^2 + C :
Fatorando :
Finalmente, resolvendo para :

Resposta

integral 3^x cos(x) , dx = 3^x ( sin(x) + ln(3) cos(x) )1 + (ln(3))^2 + C

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