Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
©

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral usando integração por partes. A integração por partes é uma técnica da Cálculo Integral que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para resolver isso, vamos precisar identificar partes da nossa integral que correspondem a e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher o que será e o que será na nossa integral. Uma boa estratégia é escolher de forma que sua derivada seja mais simples, e seja algo que possamos integrar facilmente.

Passo 3

Vamos escolher:
E então, o que sobra será :
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando :
Para derivar , usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 5

Agora, calculamos integrando :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Agora, temos uma nova integral:
Essa integral parece mais complicada, mas vamos simplificar a expressão :
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos tentar simplificar ainda mais. Observamos que pode ser reescrito como:
Então, a integral se divide em duas partes:

Passo 9

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Mas percebemos que estamos voltando para uma expressão semelhante à original, o que sugere que poderíamos precisar de uma abordagem diferente ou considerar uma substituição mais inteligente.
Vamos tentar uma substituição diferente antes de continuar, para evitar complicações desnecessárias.

Passo 10

Vamos fazer uma substituição mais inteligente para simplificar a integral inicial. Seja:
Então,
Substituindo na integral original:

Passo 11

Simplificando:
Agora, podemos aplicar a integração por partes em cada termo separadamente.

Passo 12

Vamos integrar e . Essas integrais são conhecidas e envolvem a função exponencial integral . Portanto, a solução final será expressa em termos dessa função especial.

Passo 13

Finalmente, juntando tudo, a integral original é:
Substituindo :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(y)
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(I)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(o)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(u)