Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(o) integral x^3 sen(5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da função que serão e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Isso significa que precisamos escolher uma parte da nossa integral para ser e outra para ser . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

Para , vamos escolher:
Agora, vamos derivar u = x^3 e dv = sen(5x) , dx para encontrar du = 3x^2 , dx e v = -15 cos(5x) e integrar para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos resolver a nova integral integral x^3 sen(5x) , dx = u cdot v - integral v , du = -15x^3 cos(5x) + 35 integral x^2 cos(5x) , dx , aplicando novamente a integração por partes.

Passo 5

Para u = x^2 e dv = cos(5x) , dx , escolhemos:
du = 2x , dx e v = 15 sen(5x)
Derivando e integrando:
Aplicando a fórmula:
Agora, resolvemos aplicando integração por partes mais uma vez.

Passo 6

Para , escolhemos:
Derivando e integrando:
u = x e dv = sen(5x) , dx
Aplicando a fórmula:

Passo 7

Voltando à etapa anterior:
Simplificando:

Passo 8

Substituindo de volta na integral original:
Simplificando ainda mais:

Resposta

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