Calcule as seguintes integrais: (usando integração por partes: ) integral(ln x)^2 d x

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente utilizando a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar duas partes na integral que vamos derivar e integrar, segundo a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, escolhemos u = (ln x)^2 e dv = dx de forma que a integral resulte em algo mais simples. No nosso caso, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx e v = integral dx = x . Para isso, derivamos em relação a :
E integramos para obter :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral (ln x)^2 , dx = u cdot v - integral v , du
= (ln x)^2 cdot x - integral x cdot 2 ln xx , dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
= x (ln x)^2 - 2 integral ln x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = ln x . Vamos usar novamente a integração por partes para isso. Definimos:
dv = dx
du = 1x , dx
Então,
v = x
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x , dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
integral (ln x)^2 , dx = x (ln x)^2 - 2 (x ln x - x)
= x (ln x)^2 - 2x ln x + 2x

Resposta

Portanto, a integral x (ln x)^2 - 2x ln x + 2x + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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