Dada a função f(x, y)=x^2++x y-y, calcular:
a) d f b) De
Mostre que De e que lim (De

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função De. Precisamos calcular:
a) O diferencial lim(De
b) A variação
Além disso, precisamos mostrar que:
e que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente diferenciais de funções de duas variáveis e análise de termos de resto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o diferencial fx = partial fpartial x . Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais de fy = partial fpartial y em relação a e .
As derivadas parciais são:

Passo 3

Vamos calcular fx = partialpartial x ( x^2 + xy - y ) = 2x + y e fy = partialpartial y ( x^2 + xy - y ) = x - 1 :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, o diferencial df = fx De é dado por:
df = (2x + y) De
Substituindo e :

Passo 5

Agora, vamos calcular De, que é a variação da função quando muda para e muda para . Ou seja:

Passo 6

Vamos calcular f(x + De:

Passo 7

Agora, subtraindo De:

Passo 8

Observando os termos, podemos identificar o diferencial df = (2x + y) De:
R(De
Comparando com , vemos que os outros termos formam o resto :

Passo 9

Portanto, mostramos que:
De

Passo 10

Agora, precisamos mostrar que o termo de resto lim(De tende a zero quando tende a .
Observando , ambos os termos tendem a zero conforme e tendem a zero.
Assim,

Resposta

a) O diferencial é
df = (2x + y) De
b) A variação da função é
De
E o termo de resto satisfaz
lim(De

Exercícios relacionados