Dada a função
, calcular:
a)
b)
Mostre que
e que
a)
Mostre que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. Precisamos calcular:
a) O diferencial
b) A variação
Além disso, precisamos mostrar que:
e que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente diferenciais de funções de duas variáveis e análise de termos de resto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o diferencial
. Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
As derivadas parciais são:
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, o diferencial
é dado por:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é a variação da função quando
muda para
e
muda para
. Ou seja:
Passo 6
Vamos calcular
:
Passo 7
Agora, subtraindo
:
Passo 8
Observando os termos, podemos identificar o diferencial
:
Comparando com
, vemos que os outros termos formam o resto
:
Passo 9
Portanto, mostramos que:
Passo 10
Agora, precisamos mostrar que o termo de resto
tende a zero quando
tende a
.
Observando
, ambos os termos tendem a zero conforme
e
tendem a zero.
Assim,
Resposta
a) O diferencial é
b) A variação da função é
E o termo de resto satisfaz