Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: ) integral x+3(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar a técnica de decomposição em frações parciais, que é uma forma de simplificar integrais que têm frações racionais, ou seja, frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Primeiro, vamos ver como decompôr essa fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observe que o denominador é x+3(x-1)^2 = Ax-1 + B(x-1)^2 , que já está fatorado. Como o numerador tem grau menor que o denominador (grau 1 vs. grau 2), não precisamos fazer uma divisão polinomial. Vamos expressar a fração como uma soma de termos mais simples:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por x + 3 = A(x-1) + B para eliminar os denominadores:
x + 3 = A x - A + B
Simplificando a expressão do lado direito:

Passo 4

Vamos agora comparar os coeficientes dos termos semelhantes nos dois lados da equação. No lado esquerdo, temos 1 = A , e no lado direito 3 = -A + B . Assim:
Para o termo com 3 = -1 + B implies B = 4 :
Para o termo constante:
Como já sabemos que , substituímos na segunda equação:

Passo 5

Agora que temos os valores de x+3(x-1)^2 = 1x-1 + 4(x-1)^2 e integral 1x-1 dx + integral 4(x-1)^2 dx , substituímos de volta na decomposição que fizemos:
Agora a integral fica mais fácil de resolver:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. integral 4(x-1)^2 dx = -4x-1 é uma integral básica que resulta em .
  2. pode ser resolvida lembrando que . Então:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
ln|x-1| - 4x-1 + C
Onde é a constante de integração.

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