Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: )
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar a técnica de decomposição em frações parciais, que é uma forma de simplificar integrais que têm frações racionais, ou seja, frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Primeiro, vamos ver como decompôr essa fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, observe que o denominador é
, que já está fatorado. Como o numerador
tem grau menor que o denominador (grau 1 vs. grau 2), não precisamos fazer uma divisão polinomial. Vamos expressar a fração como uma soma de termos mais simples:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Simplificando a expressão do lado direito:
Passo 4
Vamos agora comparar os coeficientes dos termos semelhantes nos dois lados da equação. No lado esquerdo, temos
, e no lado direito
. Assim:
Para o termo com
:
Para o termo constante:
Como já sabemos que
, substituímos na segunda equação:
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, substituímos de volta na decomposição que fizemos:
Agora a integral fica mais fácil de resolver:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente.
-
é uma integral básica que resulta em . -
pode ser resolvida lembrando que . Então:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
Onde
é a constante de integração.