Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções. Aqui, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e integrais, mas vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar na fórmula de integração por partes:
Aqui, escolhemos:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Para encontrar
, derivamos
em relação a
.
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
, e
tem derivada
.
Calculando
:
Integrando
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificamos
.
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar integração por partes novamente:
Escolhemos:
Calculando
:
Calculando
:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando à equação anterior:
Vamos organizar os termos:
Passo 7
Agora, vamos somar
dos dois lados para isolar a integral:
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
A integral vale:
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Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(w)
(w)
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(o)
(o)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(j).
(j).
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(q)
(q)