Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções. Aqui, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e integrais, mas vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar na fórmula de integração por partes:
Aqui, escolhemos:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 3

Calculando :
Para encontrar , derivamos em relação a .
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de é , e tem derivada .
Calculando :
Integrando :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificamos .

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral . Vamos aplicar integração por partes novamente:
Escolhemos:
Calculando :
Calculando :
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à equação anterior:
Vamos organizar os termos:

Passo 7

Agora, vamos somar dos dois lados para isolar a integral:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

A integral vale:

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Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(w)
Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(o)
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(j).
Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(q)