Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(e) integral sen(ln (x)) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções. Aqui, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e integrais, mas vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar na fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 3

Calculando u = sin(ln(x)) du = cos(ln(x)) cdot 1x , dx :
Para encontrar dv = dx v = integral dx = x , derivamos em relação a .
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de é , e tem derivada .
Calculando :
Integrando :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral sin(ln(x)) , dx = uv - integral v , du = x cdot sin(ln(x)) - integral x cdot cos(ln(x)) cdot 1x , dx = x cdot sin(ln(x)) - integral cos(ln(x)) , dx
Simplificamos .

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral du = -sin(ln(x)) cdot 1x , dx . Vamos aplicar integração por partes novamente:
Escolhemos:
  • v = x
  • integral cos(ln(x)) , dx = uv - integral v , du = x cdot cos(ln(x)) - integral x cdot (-sin(ln(x)) cdot 1x) , dx = x cdot cos(ln(x)) + integral sin(ln(x)) , dx
Calculando :
Calculando :
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à equação anterior:
integral sin(ln(x)) , dx = x cdot sin(ln(x)) - ( x cdot cos(ln(x)) + integral sin(ln(x)) , dx )
Vamos organizar os termos:
integral sin(ln(x)) , dx = x cdot sin(ln(x)) - x cdot cos(ln(x)) - integral sin(ln(x)) , dx

Passo 7

Agora, vamos somar 2 integral sin(ln(x)) , dx = x cdot sin(ln(x)) - x cdot cos(ln(x)) dos dois lados para isolar a integral:
integral sin(ln(x)) , dx = x2 ( sin(ln(x)) - cos(ln(x)) ) + C
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

A integral vale:
integral sin(ln(x)) , dx = x2 ( sin(ln(x)) - cos(ln(x)) ) + C

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