Calcule as seguintes integrais, usando integração por partes:
(j). integral(x-1) c^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. A matéria aqui é Cálculo Integral, e vamos precisar entender como aplicar a técnica de integração por partes para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Ela é útil quando a integral original é o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar separadamente.

Passo 3

Vamos escolher quais partes da nossa integral serão u = x - 1 e dv = c^-x , dx e . Geralmente, escolhemos para ser a parte que fica mais simples quando derivamos, e para ser algo que podemos integrar facilmente.
Aqui, vamos definir:

Passo 4

Agora, vamos calcular du = ddx(x - 1) , dx = 1 , dx e v = integral c^-x , dx :
v = integral e^-x ln c , dx = -e^-x ln cln c + C = -c^-xln c
Para encontrar , precisamos integrar :
Lembre-se que , então:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (x - 1) c^-x , dx = (x - 1) (-c^-xln c) - integral (-c^-xln c) (1) , dx
Simplificando:
= -(x - 1)c^-xln c + 1ln c integral c^-x , dx

Passo 6

Precisamos resolver a integral restante integral c^-x , dx = -c^-xln c + C , que já calculamos anteriormente:
-(x - 1)c^-xln c + 1ln c (-c^-xln c)
Substituindo de volta:

Resposta

Portanto, a integral é:
integral (x - 1) c^-x , dx = -(x - 1)c^-xln c - c^-x(ln c)^2 + C
Onde é a constante de integração.

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