Seja C a elipse, em , com equação x^2/4 + y^2/9 = 1. Determine o trabalho realizado pela força F(x, y) = (4y, 3x) quando atua em um objeto que se move sobre C no sentido anti-horário, saindo do ponto 2,0 e retornando ao ponto 2,0.

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos pede para determinar o trabalho realizado por uma força específica quando um objeto se move ao longo de uma elipse no plano, começando e terminando no ponto 2,0. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força F ao longo de um caminho C é dado por uma integral de linha:
Aqui, é o campo de força, e C é a elipse definida por .

Passo 3

Antes de calcular a integral diretamente, vamos verificar se o campo de força F é conservativo. Um campo é conservativo se sua circulação ao longo de qualquer caminho fechado for zero. Para isso, calculamos o rotacional de F:
Como o rotacional não é zero, F não é um campo conservativo. Isso significa que precisamos calcular a integral de linha diretamente ou usar outra estratégia.

Passo 4

Uma maneira mais fácil de calcular a integral de linha em torno de um caminho fechado é usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva:
Onde D é a região dentro da elipse C.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Green ao nosso caso:
A integral dupla representa a área da região D, que é a elipse. A área de uma elipse é dada por:
Á
Onde a e b são os semi-eixos da elipse. No nosso caso, e , então:
Á

Passo 6

Substituindo a área na expressão para o trabalho:

Resposta

O trabalho realizado pela força é unidades de trabalho.

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