Seja
a elipse, em
, com equação
. Determine o trabalho realizado pela força
quando atua em um objeto que se move sobre
no sentido anti-horário, saindo do ponto
e retornando ao ponto
.
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos pede para determinar o trabalho realizado por uma força específica quando um objeto se move ao longo de uma elipse no plano, começando e terminando no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força
ao longo de um caminho
é dado por uma integral de linha:
Aqui,
é o campo de força, e
é a elipse definida por
.
Passo 3
Antes de calcular a integral diretamente, vamos verificar se o campo de força
é conservativo. Um campo é conservativo se sua circulação ao longo de qualquer caminho fechado for zero. Para isso, calculamos o rotacional de
:
Como o rotacional não é zero,
não é um campo conservativo. Isso significa que precisamos calcular a integral de linha diretamente ou usar outra estratégia.
Passo 4
Uma maneira mais fácil de calcular a integral de linha em torno de um caminho fechado é usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva:
Onde
é a região dentro da elipse
.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Green ao nosso caso:
A integral dupla
representa a área da região
, que é a elipse. A área de uma elipse é dada por:
Onde
e
são os semi-eixos da elipse. No nosso caso,
e
, então:
Passo 6
Substituindo a área na expressão para o trabalho:
Resposta
O trabalho realizado pela força é
unidades de trabalho.