Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais: integral x^3x^2-2 x+1 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral usando o método das frações parciais. Para isso, vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo do denominador e depois decompor a fração resultante em frações mais simples que possamos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( ) é maior que o do denominador ( ). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir x^3x^2-2x+1 = x + 2 + 2x -1x^2-2x+1 por :

Passo 4

Assim, a integral fica dividida em duas partes:
integral x^3x^2-2x+1 , dx = integral (x + 2) , dx + integral 2x -1x^2-2x+1 , dx

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
integral (x + 2) , dx = x^22 + 2x

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda integral:
integral 2x -1(x -1)^2 , dx
Aqui, fatoramos o denominador como .

Passo 7

Vamos decompor a fração em frações parciais:
2x -1(x -1)^2 = Ax -1 + B(x -1)^2

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2x -1 = A(x -1) + B para eliminar os denominadores:

Passo 9

Para encontrar 2(1) -1 = A(1 -1) + B implies 1 = 0 + B implies B = 1 e , escolhemos :

Passo 10

Substituindo 2x -1 = A(x -1) + 1 implies 2x -2 = A(x -1) na equação:
A = 2
Dividindo ambos os lados por :

Passo 11

Com 2x -1(x -1)^2 = 2x -1 + 1(x -1)^2 e , a decomposição fica:

Passo 12

Agora, integramos cada termo:
integral 2x -1 , dx = 2 ln|x -1|
integral 1(x -1)^2 , dx = -1x -1

Passo 13

Juntando tudo, a integral original é:
x^22 + 2x + 2 ln|x -1| - 1x -1 + C

Resposta

x^22 + 2x + 2 ln|x -1| - 1x -1 + C

Exercícios relacionados