Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da técnica de decomposição em frações parciais, que nos ajuda a integrar funções racionais quebrando-as em frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição da fração em frações parciais. Sabemos que o denominador pode ser fatorado como , onde tem fatores repetidos. Então, nossa decomposição terá a forma:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e simplificamos os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos do lado esquerdo e do lado direito da equação:
Resolvendo o sistema:
De .
De , temos .
De , com , temos .
De .
De , com , temos .
Passo 5
Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial: