Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:
(d) integral 1x^3(x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da técnica de decomposição em frações parciais, que nos ajuda a integrar funções racionais quebrando-as em frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição da fração 1x^3(x^2+1) = Ax + Bx^2 + Cx^3 + Dx + Ex^2+1 em frações parciais. Sabemos que o denominador pode ser fatorado como , onde tem fatores repetidos. Então, nossa decomposição terá a forma:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A x^2(x^2+1) + B x(x^2+1) + C(x^2+1) + (Dx + E) x^3 para eliminar os denominadores:
1 = A x^4 + A x^2 + B x^3 + B x + C x^2 + C + D x^4 + E x^3
Agora, expandimos e simplificamos os termos:
1 = (A + D) x^4 + (B + E) x^3 + (A + C) x^2 + B x + C
Agrupando termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos do lado esquerdo e do lado direito da equação:
A + D = 0 B + E = 0 A + C = 0 B = 0 C = 1
Resolvendo o sistema:
  1. De .
  2. De , temos .
  3. De , com , temos .
  4. De .
  5. De , com , temos .

Passo 5

Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial:
1x^3(x^2+1) = -1x + 0x^2 + 1x^3 + 1 cdot x + 0x^2+1
Simplificando:
1x^3(x^2+1) = -1x + 1x^3 + xx^2+1

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1x^3(x^2+1) dx = integral (-1x) dx + integral 1x^3 dx + integral xx^2+1 dx
Calculando cada integral:
  1. . Aqui, fazemos a substituição , então , ou . Assim, a integral fica

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral 1x^3(x^2+1) dx = -ln|x| - 12x^2 + 12 ln(x^2+1) + C
Onde é a constante de integração.

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