Qual a massa da semiesfera z = raiz(4 - x^2 - y^2) se a densidade em cada ponto é dada por rho(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir a massa de uma semiesfera definida pela equação . A densidade nesse ponto é dada por . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente em coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando lidamos com formas esféricas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, qualquer ponto no espaço é representado por três valores: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo polar, que vai do eixo z), e (o ângulo azimutal, que gira no plano xy). A vantagem aqui é que a equação da semiesfera fica mais simples, já que estamos lidando com uma forma redonda.

Passo 3

A massa da semiesfera pode ser calculada usando a integral tripla da densidade sobre todo o volume da semiesfera. Em coordenadas cartesianas, ficaria complicado, então vamos mudar para esféricas. A fórmula geral para a massa é:

Passo 4

Convertendo para coordenadas esféricas, sabemos que simplesmente se transforma em , porque . Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 5

Então, substituindo na integral, temos:
Aqui, vai de 0 até 2 porque o raio da semiesfera é 2 (já que implica ). O ângulo vai de 0 a porque estamos só na metade superior da esfera, e vai de 0 a para cobrir toda a volta no plano xy.

Passo 6

Vamos resolver a integral com relação a primeiro:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos resolver a parte com :

Passo 8

Finalmente, sobra só a integral em :

Resposta

A massa da semiesfera é .

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