Usando integração por parte determine as seguinte fórmulas de recorrência
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar fórmulas de recorrência usando integração por partes. O problema envolve integrar potências de funções trigonométricas, especificamente
e
. Para isso, vamos utilizar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para integrar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício:
. A ideia é reduzir a potência de
para termos uma expressão mais simples que possamos integrar. Para aplicar a integração por partes, precisamos identificar duas partes na integral: uma que derivaremos e outra que integraremos.
Passo 3
Escolhemos:
-
, pois ao derivar, a potência diminui. -
, que é fácil de integrar.
Então, calculamos:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo nossos valores:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 6
Distribuindo a integral:
Isolando
do lado esquerdo:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A fórmula de recorrência para
é:
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Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados:
(a) em
(a)
Calcule se existir:
.
Determine
para que a função dada seja contínua:
(f) .
(f)
Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:
(d)
(d)