Usando integração por parte determine as seguinte fórmulas de recorrência
& (a) integral cos ^n(x) d x=cos ^n-1(x) sen(x)n+n-1n integral cos ^n-2(x) d x, n=1,2, ldots & (b) integral sen^n(x) d x=-sen^n-1(x) cos (x)n+n-1n integral sen^n-2(x) d x, n=1,2, ldots

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar fórmulas de recorrência usando integração por partes. O problema envolve integrar potências de funções trigonométricas, especificamente e . Para isso, vamos utilizar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício: . A ideia é reduzir a potência de para termos uma expressão mais simples que possamos integrar. Para aplicar a integração por partes, precisamos identificar duas partes na integral: uma que derivaremos e outra que integraremos.

Passo 3

Escolhemos:
  • , pois ao derivar, a potência diminui.
  • , que é fácil de integrar.
Então, calculamos:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo nossos valores:
integral cos^n(x) dx = cos^n-1(x) sin(x) - integral sin(x) cdot [-(n-1)cos^n-2(x)sin(x)] dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
integral cos^n(x) dx = cos^n-1(x) sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) sin^2(x) dx
Sabemos que integral cos^n(x) dx = cos^n-1(x) sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) (1 - cos^2(x)) dx , então substituímos:

Passo 6

Distribuindo a integral:
integral cos^n(x) dx = cos^n-1(x) sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) dx - (n-1) integral cos^n(x) dx
Isolando integral cos^n(x) dx + (n-1) integral cos^n(x) dx = cos^n-1(x) sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) dx do lado esquerdo:
n integral cos^n(x) dx = cos^n-1(x) sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) dx

Passo 7

Dividindo ambos os lados por integral cos^n(x) dx = cos^n-1(x) sin(x)n + n-1n integral cos^n-2(x) dx :

Resposta

A fórmula de recorrência para integral cos^n(x) dx = cos^n-1(x) sin(x)n + n-1n integral cos^n-2(x) dx, n=1,2,ldots é:

Exercícios relacionados

Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados:
(a) f(x) = 4x - 3 em p = 2
Calcule se existir: lim x 1 / 5 f(x).
Determine a para que a função dada seja contínua:
(f) f(x) = { (x^3 - 8) / (x - 2) se x != 2, a se x = 2 }.
Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:
(d) integral 1x^3(x^2+1) d x