Determine a para que a função dada seja contínua:
(f) f(x) = { (x^3 - 8) / (x - 2) se x != 2, a se x = 2 }.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 2 tem que ser igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dada:
Queremos calcular o limite de quando se aproxima de 2. Olhando a expressão , percebemos que se substituirmos diretamente, teríamos divisão por zero, o que não é permitido. Então, precisamos simplificar essa expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador . Sabemos que é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Agora, substituímos isso de volta na expressão de :

Passo 4

Percebemos que o termo está tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar eles (desde que ):
Agora, para encontrar o limite quando se aproxima de 2, basta substituir nessa expressão simplificada:

Resposta

Então, para que a função seja contínua em , o valor de precisa ser igual a 12.

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