Determine
para que a função dada seja contínua:
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o valor de
que faz a função
ser contínua no ponto
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 2 tem que ser igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dada:
Queremos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2. Olhando a expressão
, percebemos que se substituirmos
diretamente, teríamos divisão por zero, o que não é permitido. Então, precisamos simplificar essa expressão.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador
. Sabemos que
é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Agora, substituímos isso de volta na expressão de
:
Passo 4
Percebemos que o termo
está tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar eles (desde que
):
Agora, para encontrar o limite quando
se aproxima de 2, basta substituir
nessa expressão simplificada:
Resposta
Então, para que a função seja contínua em
, o valor de
precisa ser igual a 12.
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(a) em
(a)
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(d)
(d)
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se a densidade em cada ponto é dada
?