Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(b) integral 3 xx^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral usando o método de substituição. Isso significa que vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como escolher uma boa substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para o denominador , uma boa ideia é definir . Isso porque a derivada de em relação a vai nos ajudar a simplificar o numerador.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a :
Perceba que no numerador da nossa integral temos . Vamos rearranjar a expressão para relacionar com .

Passo 4

A partir de x , dx = du2 , podemos isolar integral 3xx^2+1 , dx = integral 3u cdot du2 = 32 integral 1u , du :
Substituindo isso na nossa integral original:
Aqui, simplificamos a integral deixando-a em termos de .

Passo 5

Agora, integramos 32 integral 1u , du = 32 ln|u| + C em relação a :
Onde é a constante de integração. Como e é sempre positivo, podemos simplificar para .

Passo 6

Finalmente, retornamos à variável original substituindo 32 ln(x^2 + 1) + C de volta:

Resposta

integral 3xx^2+1 , dx = 32 ln(x^2 + 1) + C

Exercícios relacionados