Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(l) integral raizx(raiz2-raizx)^2 d x

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Isso envolve conhecimentos de integração, especificamente a expansão de expressões e a aplicação de regras básicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar expandir a expressão dentro da integral e depois integrar termo a termo usando as fórmulas que conhecemos da tabela de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos . Para facilitar, vamos expandir .

Passo 3

Usando a identidade (raiz2 - raizx)^2 = (raiz2)^2 - 2 cdot raiz2 cdot raizx + (raizx)^2 = 2 - 2raiz2raizx + x , onde e , temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa expansão de volta na integral:
integral raizx cdot (2 - 2raiz2raizx + x) , dx
Vamos distribuir integral (2raizx - 2raiz2x + x^3/2) , dx sobre cada termo dentro dos parênteses:

Passo 5

Agora, temos uma integral de uma soma de termos. A gente pode integrar cada termo separadamente usando as fórmulas básicas de integração. Lembrando que , onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos integrar cada termo:
  1. Para integral 2x^1/2 , dx = 2 cdot x^3/23/2 = 43x^3/2 , que é integral -2raiz2x , dx = -2raiz2 cdot x^22 = -raiz2x^2 :
integral x^3/2 , dx = x^5/25/2 = 25x^5/2
  1. Para :
  1. Para :

Passo 7

Agora, juntamos todas essas integrais e adicionamos a constante de integração 43x^3/2 - raiz2x^2 + 25x^5/2 + C :

Resposta

A integral 43x^3/2 - raiz2x^2 + 25x^5/2 + C é igual a:

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