Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(n) integral e^x+4e^x d x

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a , usando uma tabela de integrais que envolve funções exponenciais. Depois, a gente vai derivar o resultado para conferir se está certinho. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração e^xe^x + 4e^x = 1 + 4e^-x . Para isso, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Explicação: Dividir por resulta em 1, e dividido por é igual a porque .

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples:
integral (1 + 4e^-x) dx
Vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica aqui é que a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 4

Integrando o primeiro termo:
integral 1 , dx = x
Explicação: A integral de 1 em relação a é simplesmente , porque a derivada de é 1.

Passo 5

Integrando o segundo termo:
integral 4e^-x , dx = 4 integral e^-x , dx = 4 (-e^-x) = -4e^-x
Explicação: A integral de é , então multiplicamos pelo 4 que estava na frente.

Passo 6

Juntando as integrais dos dois termos, temos:
x - 4e^-x + C
Onde é a constante de integração, importante para representar todas as possíveis antiderivadas.

Passo 7

Agora, para conferir se a resposta está correta, vamos derivar ddx(x - 4e^-x) = 1 - 4(-e^-x) = 1 + 4e^-x :
Que é exatamente o integrando original!

Resposta

integral e^x + 4e^x , dx = x - 4e^-x + C

Exercícios relacionados