Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(e) integral y(b-a y^2) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de substituição. A matéria que estamos trabalhando aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitar a integração e depois voltar para a variável original.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar a visualização:
integral y(b - a y^2) dy = integral (b y - a y^3) dy

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de substituição. Observamos que a integral possui termos com dudy = -2a y Rightarrow du = -2a y , dy elevados a potências diferentes, o que pode ser integrado diretamente. No entanto, seguindo as instruções, vamos usar a substituição para entender melhor o processo.
Escolhemos . Então, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Precisamos expressar y , dy = -12a du em termos de integral y(b - a y^2) dy = integral u (-12a) du = -12a integral u , du :
Substituindo na integral original:

Passo 5

Agora, integramos -12a integral u , du = -12a cdot u^22 + C = -u^24a + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original -(b - a y^2)^24a + C substituindo :

Resposta

A integral é igual a .

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